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Als ein Beispiel zur Überabzählbarkeit und Konstruierbarkeit wurde der binäre Baum gebracht

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der aus Knoten (den Bits 0 und 1) und unendlichen Pfaden (den Bitfolgen, also reellen Zahlen) besteht.

Zwei Pfade werden unterscheidbar genannt, wenn sie sich in mindestens einem Knoten unterscheiden. Also können genau so viele Pfade wie Knoten unterscheidbar sein. Aber die Knoten sind abzählbar, die Pfade nicht.

Man könnte alle Knoten konstruieren, aber nicht alle Pfade. Was bliebe aber übrig, wenn alle Knoten konstruiert wären?

EDIT vom 25.05.2022 um 22:09:

Diese Frage enthält keine Unstimmigkeiten, sondern die Mathematik dahinter enthält solche. Ich möchte gern wissen, und habe schon viele Kommilitones und Professores gefragt, aber niemand kann erklären, wie unabzählbar viele Pfade mit der Beschränkung der Pfade durch die Knoten vereint werden kann.

EDIT vom 26.05.2022 um 18:42:

Ich möchte gern wissen,  wie überabzählbar viele Pfade mit der Beschränkung der Pfade durch die Knoten in Übereinstimmung gebracht werden können. 
gefragt

Punkte: 14

 

Es gibt keine Argumente, also wird die Frage "gemeldet".   ─   wm vor 4 Tagen, 4 Stunden

Hier hat einfach niemand Lust mit dir über deine Ansichten zum Ultrafinitismus zu diskutieren. Das Problem ist, dass du hier mit mehreren Accounts Fragen stellst, die ganz offensichtlich nur als bait dienen um dann anschließend (mit deinem anderen Account) deine Agenda zu pushen. Du bist ganz einfach im falschen Forum. Vielleicht ist ein Philosophie-Forum der bessere Ort für deine Gedanken.   ─   zest vor 4 Tagen, 3 Stunden

Du lügst und beleidigst. Außerdem ist es anmaßend, zu behaupten, dass bei 160 Aufrufen niemand an dem Thema interessiert sei. Und schließlich hast Du es überhaupt nicht verstanden, denn es geht nicht um Finitismus, sondern um Cantors aktuale Unendlichkeit, die ich akzeptiere.   ─   wm vor 4 Tagen, 3 Stunden

160 Klicks kommen schnell zusammen (ich hab ja alleine schon gefühlt 20x hier reingeklickt, warum auch immer...). Außerdem habe ich dich nirgendwo beleidigt. Dann geht es eben um "aktuale Unendlichkeit". Das ist trotzdem der falsche Ort dafür, weil das eine Grundsatzdiskussion ist, auf die hier niemand Lust zu haben scheint, wie dir bereits mitgeteilt wurde. Daran ändert auch die Tatsache nichts, dass du mit mehreren Accounts künstliche Diskussionen versucht zu erzeugen.   ─   zest vor 4 Tagen, 3 Stunden

Wer zwingt Dich, diese Texte zu lesen? Die Unterstellung mehrerer Accounts ist eine Beleidigung. Das habe ich nicht nötig. https://kdvi.uva.nl/content/news/2018/05/uva-wins-limo-2018.html?cb   ─   wm vor 1 Tag, 10 Stunden
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Man könnte alle Knoten konstruieren, aber nicht alle Pfade. Was bliebe aber übrig, wenn alle Knoten konstruiert wären?

Wenn alle Knoten konstruiert wären, dann bliebe nichts übrig, denn wo kein Knoten ist, da ist auch kein Pfad. Aber eine vollständige Konstruktion ist überhaupt nicht möglich, so wie schon keine vollständige Abzählung möglich ist. (Siehe die Frage https://www.mathefragen.de/frage/q/d8a3a340f9/was-ist-dran-an-der-cantor-kritik/) Dort wird nachgewiesen, dass nicht alle Brüche abgezählt werden können. Mit den Knoten ist es ähnlich:

Nimm an, dass alle Knoten des linken Pfades 000... mit 1, 2, 3, ... abgezählt wären. Dann hätte man ja alle natürlichen Zahlen parat. Nun verwende die dafür benötigten natürlichen Zahlen, um alle Knoten des Binären Baums abzuzählen. Da die bereits abgezählten aus 000... auch abgezählt werden müssen, besteht der Vorgang in einer reinen Umordnung der natürlichen Zahlen. Für jeden neu abgezählten Knoten wird ein bereits abgezählter wieder aus der Abzählung entfernt. Wer für jedes neu eingesammelte Element ein anderes wegwirft, der wird niemals alle Elemente abzählen.

Lege die Frage einem normalen Menschen vor: Kann man alle Elemente einer Menge einsammeln, wenn man für jedes eingesammelte wieder eines wegwirft? Da wird die Antwort eindeutig ausfallen. Sogar Mathematiker werden die Unmöglichkeit konstatieren, falls sie nicht die Implikation für die Mengenlehre erkennen.

 

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Lehrer/Professor, Punkte: 25

 

Früher wurden Bücher verbrannt. Heute wird gelöscht, wenn die Mehrheit ihre Meinung durchsetzen möchte. Na, wo bleibt der dritte Blockwart?   ─   wm vor 1 Tag, 10 Stunden

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Wm wurde bereits informiert.
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Das geht deswegen, weil die Pfade nicht bei den Knoten enden, sondern "nach jedem Knoten" noch unendlich viele weitere links/rechts-Entscheidungen offen haben.

Durch jeden einzelnen Knoten gehen bereits (überabzählbar) unendlich viele Pfade.  Damit wäre es unsinnig, die Pfade mit Knoten zu assoziieren.

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Punkte: 265

 

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Nachfrage: Wir haben gelernt, dass abzählbare Mengen konstruierbar sind, weil man den Trick anwenden kann, den nächsten Schritt in die Hälfte der verbleibende Zeit zu machen. Kann man nun auch alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 als binäre konstruieren?   ─   anonym8be99 13.05.2022 um 13:17

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Dieser sogenannte "Trick" hat einen Fachausdruck, nämlich "supertask" (wenn es dich interessiert, dann google danach) - das Konzept dahinter ist in der seriösen Mathematik (also abseits von Didaktik und "für Laien etwas bildlicher zu präsentieren") aber sehr umstritten. Stell dir vor, jemand würde in jedem (immer schneller werdenden) Schritt das Licht mal ein- mal ausschalten... Auch mit Trick kann man nicht erkennen, ob das Licht "nachher" brennt oder nicht.

Nichtsdestotrotz hat es auch seine Berechtigung: Klassische Paradoxien der Antike, wie etwa der Achilles, der nie die Schildkröte einholen könne, sind eigentlich "reale supertasks": Immer wenn Achilles den Punkt erreicht hat, wo die Schildkröte zuletzt war, ist die Schildkröte wieder ein wenig weitergekrochen - das passiert real in exponentiell kürzer werdenden Zeiträumen (da auch die in jedem Schritt zurückgelegten Distanzen exponentiell kürzer werden) , also genau das, was mit supertasks simuliert wird. Die Summe aller dieser immer kleiner werdenden Zeitintervalle ist dann genau die Zeit, die Achilles tatsächlich benötigt, die Schildkröte trotz ihres Vorsprungs einzuholen.

Zu deiner zweiten Frage: jedenfalls nicht als supertask, da das Konzept der supertasks nun mal auf abzählbare "Schritt"-Folgen ausgelegt ist.
Aber bis auf ein paar kleine Schönheitsfehler kann man jeden Pfad im binären Baum einer reellen Zahl zuordnen; Diese Zuordnung ist aber leider nicht eindeutig: denke dir den Pfad, der beim ersten mal links(0) abbiegt, und danach stets rechts(1): 0111111111... und dann denke dir den pfad, der zuerst rechts, und dann immer links abbiegt: 1000000... als binäre Nachkommastellen aufgefasst, sind aber 0,01111... und 0,10000... dieselbe reelle Zahl. Man könnte nun naiv glauben, dass es deswegen weniger reelle Zahlen in [0;1] als Pfade gibt, aber man kann die Ziffernfolgen ja auch als Darstellungen der Nachkommastellen im dezimalen Zahlensystem sehen. Dann sind 0,1000... und 0,0111... verschiedene reelle Zahlen, und es bleiben sogar noch alle mit 2ern bis 9ern in der Darstellung übrig - dann gäbe es auf einmal mehr reelle Zahlen in [0;1] als Pfade im binären Baum. :-) Tatsächlich gilt für die Mengen der binären Pfade und die reellen Zahlen in [0;1], dass sie gleichmächtig sind - eine Bijektion dazwischen anzugeben ist möglich, aber ziemlich kompliziert.
  ─   mathe42 13.05.2022 um 16:36

Danke für die ausführliche Erklärung. Ist dann die Aufzählung der Knoten eine Supertask? Sie soll doch ganz gelingen. Impliziert dies die Aufzählung aller Binärfolgen? Das ist meine wesentliche Frage.   ─   anonym8be99 13.05.2022 um 21:43

Die Knoten-aufzählung könnte man in so einen supertask packen, aber das impliziert lediglich eine Aufzählung *endlicher* Binärfolgen, nicht der unendlichen.

Der Beweis dieser Aussage ist etwas komplizierter. Zum einen kann man beweisen, dass es keine Bijektion zwischen einer Menge M und ihrer Potenzmenge P(M) geben kann. Das ist auch schon der kompliziertere Teil. Denn die Binärfolgen kann man 1:1 den Teilmengen von $ℕ$ zuordnen: für jedes $i \in ℕ$ bestimmt die $i$-te Ziffer der Folge, ob i in der dazugehörigen Menge enthalten ist.
  ─   mathe42 13.05.2022 um 23:18

Was soll denn das? Die unendlich vielen weiteren links/rechts-Entscheidungen funktionieren ohne Knoten? Nein jede wird durch einen Knoten erzeugt, und kein Pfad führt weiter als die unendlich vielen Knoten. Das Grundelement
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des Binären Baums beweist eindeutig, dass an jedem Knoten aus einem unterscheidbaren Pfadbündel zwei unterscheidbare Pfadbündel entstehen. Die Anzahl der unterscheidbaren Pfadbündel ist also genau so groß wie die Anzahl Knoten.

Gibt es denn in diesem ganzen Forum keinen Mathematiker, der diesen Sachverhalt durchschaut?

"Durch jeden einzelnen Knoten gehen bereits (überabzählbar) unendlich viele Pfade" ist eine auf reinem Glauben basierende Aussage und eindeutig falsch.

"Die Knoten-aufzählung könnte man in so einen supertask packen, aber das impliziert lediglich eine Aufzählung *endlicher* Binärfolgen, nicht der unendlichen."

Man kann also nicht aktual unendlich viele Knoten abzählen, sondern nur potentiell unendlich viele. Das bestätigt die Tatsache, dass aktual unendlich Mengen nicht vollständig abgezählt werden können, im Gegensatz zu Cantors Anspruch: "Wenn zwei wohldefinierte Mannigfaltigkeiten M und N sich eindeutig und vollständig, Element für Element, einander zuordnen lassen (was, wenn es auf eine Art möglich ist, immer auch noch auf viele andere Weisen geschehen kann), so möge für das Folgende die Ausdrucksweise gestattet sein, daß diese Mannigfaltigkeiten gleiche Mächtigkeit haben, oder auch, daß sie äquivalent sind." [Cantor Werke, p. 119] und im Gegensatz zu seiner Aussage: "Sind M und N zwei wohlg. M. von verschiedenen Typen, α und β Zeichen für diese beiden Typen, so muss nothwendig bei dem Versuche sie aufeinander abzuzählen von der einen Menge ein Rest bleiben; (Cantor an Lipschitz, 19. Nov. 1883) Wie sollte das wohl geschehen, wenn man nicht einmal die kleinere Menge fertig kriegt?

  ─   wm vor 6 Tagen, 6 Stunden

War ja klar, dass sich derjenige, der schon vor ein paar Monaten sein Unverständnis der Mengenlehre mit seinen logischen Fehlschlüssen bewiesen hat, sich hier auch wieder zu Wort meldet...   ─   mathe42 vor 4 Tagen, 15 Stunden

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Das liegt daran, dass die Frage von ihm kommt. Sie stammt aus seinem Artikel über dunkle Zahlen: https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/   ─   mathejean vor 4 Tagen, 14 Stunden

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Was ist falsch an seine Grundelement? Ist Entscheidungen ohne Knoten logisch?   ─   anonym8be99 vor 4 Tagen, 12 Stunden

Das heißt also, er trollt das gesamte Forum mit seinen seltsamen Ansichten, indem er mit mehreren Accounts Fragen stellt und die er seiner Meinung nach wunderbar bewiesen hat, obwohl das in meinen Augen der größte Schwachsinn überhaupt ist. Prima.   ─   cauchy vor 4 Tagen, 11 Stunden

Im Zweifel einfach die Frage/Antwort melden.   ─   zest vor 4 Tagen, 11 Stunden

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Wenn man nicht weiß, wie man das verhasste Argument
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entkräften kann, dann bleibt wohl keine andere Wahl als die unwissenschaftlichste: Zensur.
  ─   wm vor 4 Tagen, 3 Stunden

"Was ist falsch an seine Grundelement? Ist Entscheidungen ohne Knoten logisch?"

Das Problem fängt schon da an, dass sein "Grundelement" unsinnig ist: also die Idee, dass man Pfade mit einem bestimmten Knoten assoziieren könnte, bei dem sich dieser Pfad dann von anderen trennt, denn bei jeder "Abzweigung" gibt es unendlich viele Pfade, die dort links abbiegen, und ebenso unendlich viele Pfade, die dort nach rechts abbiegen.
  ─   mathe42 vor 1 Tag, 3 Stunden

Man kann vielleicht nicht Pfade mit Knoten assoziieren, aber man kann die Unterscheidbarkeit durch Knoten beweisen.   ─   anonym8be99 vor 1 Tag, 2 Stunden

Was will man da beweisen? Ein Pfad ist nichts anderes als eine Abfolge von Knoten. Das ist also schon per Definition gegeben.   ─   cauchy vor 1 Tag, 2 Stunden

Man kann eine Abschätzung machen: Um 10 Pfade zu differenzieren braucht man mindestens 10 Knoten. Genau so für 100 oder 10000.   ─   anonym8be99 vor 1 Tag, 2 Stunden

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