Restklassen

Aufrufe: 1011     Aktiv: 04.05.2020 um 15:07
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Meine Frage lautet auf welche Zahl 13^13 endet. Ich habe auch ein Rechen schritt aber er ist leider falsch und ich weiss nicht woran es liegt.

Die letze ziffer ergibt sich mittels Berechnung von mod 10. Nach dem Satz von euler gilt a^phi(n)kongruent 1 mod n falls ggt(a,n)=1.

Hier gilt offenbar phi(10)=4 und ggt(13^13,10)=1 Da 13=3•4+1 keine gemeinsamen Teiler mit 10=2•5 haben kann. 

Damit ist dann 

(13^3)^4•13^1 kongruent 1•13•13=1•3•3 kongruent 9 mod 10

Also endet die letze ziffer auf 9

Wo ist da der Fehler?:(

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Geht das nicht einfacher? Die 13 endet auf 13, das Quadrat davon auf 9, wenn man nochmal mit 3 multipliziert, endet die Zahl auf 7, im nächsten Schritt auf 1, und dann geht es wieder von vorne los.

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Hey danke ihnen aber ich muss es leider mit der modulo Rechnung machen.   ─   ismail1emre 04.05.2020 um 14:57

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Naja wie du richtig sagst ist \(13^{\phi(10} = 13^4 = 1 mod 10\)

Also gilt :

\(13^{13} = 13^{3\cdot4+1}=13^{4^3}\cdot 13 = 1^3 \cdot 13 = 13 = 3 mod10 \)

Das müsste stimmen.

 

(Jedes Gleichheitszeichen soll hier eine Kongruenz modulo 10 ausdrücken!)

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