Parabelgleichung bestimmen

Aufrufe: 197     Aktiv: 12.12.2021 um 22:30

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Gegeben: Eine zur y-Achse symmetrische Parabel 4. Ordnung, zwei Nullstellen, schneidet die x-Achse bei x=4, die y-Achse bei y=2 und schliesst mit der x-Achse eine Fläche vom Inhalt A=44,8 ein.

Stimmt es, dass ich schon mal 2=4x^4+bx^3+cx^2+dx+e schreiben kann? Wie komme ich weiter bzw. wie kann ich mit den gegebenen Informationen die Parabelgleichung bestimmen?

Danke für eure Hilfe bereits im Voraus!
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Punkte: 18

 

Dein Ansatz stimmt so nicht, siehe Antwort wie du vorgehen musst. 4 ist ein x-wert, der für alle x eingesetzt werden muss.   ─   monimust 09.12.2021 um 23:37

user75c0c0, hast du jetzt eigentlich verstanden, was du machen musst?   ─   answer05 12.12.2021 um 16:51
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Verarbeite alle Informationen der Reihe nach. 

Was bedeutet die Symmetrie?
Zwei Nullstellen?
Schneidet die $x$-Achse bei $x=4$?
Schneider die $y$-Achse bei $y=2$?
Schließt eine Fläche ein?

Beantworte die Fragen, indem du direkt die mathematischen Bedingungen aufschreibst, also $f(x)=\dots$ Ggf. kannst du für $x$ Werte einsetzen. Du brauchst dann so viele Informationen (also Gleichungen) wie du unbekannte hast. Deswegen fand mit der Symmetrie an.
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Selbstständig, Punkte: 17.97K

 

Ich habe nun f(4) = 0 = 256a + 64b + 16c + 4d und f(0) = 2 = e
Wie bekomme ich die zwei anderen Gleichungen bzw. wie komme mit der Symmetrie auf eine Gleichung?
  ─   user75c0c0 12.12.2021 um 14:44

Was bedeutet denn Symmetrie und wie kann man sie bei ganzrationalen Funktionen erkennen?   ─   cauchy 12.12.2021 um 14:50

Ich weiss nur, dass der Graph von links oben nach rechts oben verlaufem muss und dann ist die Parabel auch symmetrisch zur y-Achse, aber ich weiss nicht wie ich daraus eine Gleichung bestimmen kann.   ─   user75c0c0 12.12.2021 um 14:59

für die Symmetrie zur y-Achse gilt: f(-x)=f(x). Damit kann man entweder weitere Punkte generieren, oder man überlegt sich, wie sich das auf die Exponenten der gesuchten Funktion auswirkt.   ─   honda 12.12.2021 um 15:08

Ich habe das Thema zurzeit auch.
Du musst als aller erstes all die Informationen, die du im Text finden kannst raus schreiben und schauen, welche Ordnung du hast. Denn es gilt ja, dass du so viele Informationen brauchst, wie du Unbekannte hast. Jetzt musst du überlegen, was es bedeutet, wenn du eine Funktion hast die symmetrisch zur y-Achse hast und das machst du dann auch mit allen anderen Informationen, bis du ein LGS hast welches du dann auch lösen kannst.
  ─   answer05 12.12.2021 um 15:18

@answer05 das steht genau so und eigentlich genauer bereits in der Antwort   ─   patricks 12.12.2021 um 15:26

Danke an alle, aber irgendwie bin ich mir trotzdem nicht sicher, wie die anderen Gleichungen lauten. Kann es sein, dass eine Gleichung noch f'(0) = 0 ist?   ─   user75c0c0 12.12.2021 um 15:28

Und was muss man eigentlich noch mit A = 44,8 machen?   ─   user75c0c0 12.12.2021 um 15:35

f'(0)=0 wäre richtig, steht als Bedingung nirgends und bringt dich rechnerisch keinen Schritt weiter (kannst ja mal ausprobieren)
für F musst du das passende Integral für die Flächenberechnung aufstellen, auch das ist eine der gesuchten Bedingungen.
  ─   patricks 12.12.2021 um 15:43

Oh doch. Mit $f'(0)=0$ kommt man sehr wohl weiter. Allerdings steckt das Resultat davon in vereinfachter Form schon in einer der anderen Information, nämlich in der Symmetrie. Deswegen nochmal die Frage: was bedeutet Symmetrie und welche Eigenschaften hat dann die Funktionsgleichung. Entweder in die Unterlagen schauen oder ins Buch! Solange das nicht geklärt ist, bringt es nichts, weiterzumachen.   ─   cauchy 12.12.2021 um 15:49

@cauchy, stimmt, ich bin da von der vereinfachten Form ausgegangen, wenn man weitere Punkte aufgrund der Symmetrieeigenschaft bestimmt, klappt das natürlich. Wäre einfach schön, wenn die Frager, mal Rückmeldung gäben, welche der vorgeschlagenen Ansätze sie weiterverfolgen.   ─   patricks 12.12.2021 um 15:55

Man braucht keine weiteren Punkte aufgrund Symmetrie. Eine Funktion 4. Grades muss im Ursprung einen Extrempunkt haben (den Beweis überlasse ich dem geübten Leser) und deswegen gilt $f'(0)=0$. Aber wie gesagt, wenn man von Beginn die Symmetrie ausnutzt, wird die gesamte Aufgabe einfacher. Deswegen hab ich diesen Punkt in der Antwort auch als erstes genannt. Allerdings passiert es hier ja immer wieder, dass die Frager nicht auf das hören, was die Helfer schreiben. Und so lange das nicht umgesetzt wird, ist jede weitere Hilfe einfach zwecklos.   ─   cauchy 12.12.2021 um 16:01

@cauchy Ich kann die Frage nicht wirklich beantworten. Die Symmetrie gibt doch einfach an, wie der Graph gezeichnet wird. In diesem Fall muss ich ja auf den grössten Exponenten schauen, also 4, der angibt, dass der Graph nach oben geöffnet ist und weil es positiv ist, verläuft der Graph von links oben nach rechts oben. Weiter komme ich nicht.   ─   user75c0c0 12.12.2021 um 16:05

Wenn du eine Funktion hast, die symmetrisch zur y-Achse ist, dann kannst du etwas an der Funktion verändern bzw. verringern.   ─   answer05 12.12.2021 um 16:10

Zur Symmetrie gibt es noch viel mehr. Der Funktionsgraph interessiert dich an dieser Stelle gar nicht. Wenn man in Büchern und Unterlagen nichts dazu findet, kann man ja auch mal im Internet suchen. Woran kann man Symmetrie anhand der Funktionsgleichung (!) erkennen. Es geht nicht um den Funktionsgraphen.   ─   cauchy 12.12.2021 um 16:11

@cauchy heißt das, dass meine Antwort falsch war?   ─   answer05 12.12.2021 um 16:13

Sie ergibt keinen Sinn. Was willst du damit aussagen? Zumal du die "Funktion" ja nicht verändern sollst.   ─   cauchy 12.12.2021 um 16:15

@ cauchy Wenn man eine Funktion hat, die lautet: ax^4+bx^3+cx^2+dx+e und gesagt wird das die Funktion symmetrisch zur y-Achse ist, dann heißt das doch, dass man alle koeffizienten mit ungeraden Hochzahlen wegstreichen kann.   ─   answer05 12.12.2021 um 16:18

Das ging so aus deinem Kommentar nicht wirklich hervor. ;)   ─   cauchy 12.12.2021 um 16:21

Tut mir leid. Ich versuche es nächstes mal besser zu erklären   ─   answer05 12.12.2021 um 16:21

Darf ich eigentlich auch ein Video reinschicken? Auf Youtube gibt es nämlich eins, welches das Thema gut erklärt.   ─   answer05 12.12.2021 um 16:24

Ich würde da erstmal auf die Rückmeldung des Fragers warten. Wie gesagt, solange er für sich nicht geklärt hat, was mit der Symmetrie zu machen ist, ist jede weitere Hilfe sinnlos.   ─   cauchy 12.12.2021 um 16:28

@cauchy, verstehe nicht, wie die Information f`(0)=4a*0^3+2c*0^1 =0; weiterhelfen soll, während; f`(0)= 4a*0^3+3 b*0^2+2*0^1+d=0 mir eine Info über d liefert (also wenn ich mit einer Gleichung 4. Grades rechne und dafür 5 Bedingungen benötige)
sorry, schreibe hier normal (ohne latex) aber da wird wohl was falsch interpretiert ;)
  ─   patricks 12.12.2021 um 16:33

Du hast mich einfach falsch verstanden. Wenn man natürlich die Symmetrie vorher ausnutzt, bringt einem diese Info nichts. Wenn man sie aber nicht ausnutzt, erhält man damit $d=0$. Deswegen sagte ich, dass die Info, die man durch $f'(0)=0$ bekommt, bereits in der Symmetrie drin steckt, weil aus der Symmetrie sofort $d=0$ folgt.   ─   cauchy 12.12.2021 um 16:55

Ich habe nun kapiert, dass man f (x) = ax^4 + bx^2 + c brauchen sollte wegen der y-Achsen Symmetrie und habe dafür f (4) = 0 = 256a + 16b + 2 erhalten. Und dass bei f'(0) = 0, dann d = 0 folgt, ist mir auch klar. Leider habe ich immer noch nicht alle Gleichungen, die ich in den Taschenrechner tippen könnte, um auf die Lösung zu kommen.   ─   user75c0c0 12.12.2021 um 19:35

@answer05 Über eine Videoempfehlung wäre ich übrigens sehr froh. :)   ─   user75c0c0 12.12.2021 um 19:37

du brauchst 3 Gleichungen wegen a,b,c, wobei wenn du von d redest, a,c,e sinnvoller wären als Unbekannte vor den xPotenzen. Dann würdest du auch erkennen, dass d für deinen Ansatz total irrelevant ist, du benutzt es ja gar nicht. Fehlen noch zwei Gleichungen. dein c herauszubekommen ist einfach, steht ja in der Angabe. dann muss noch der Flächeninhalt mittels Integral benutzt werden   ─   honda 12.12.2021 um 19:44

ich habe f (0) = 2 = c herausbekommen und stimmt es, dass ich ein Integral von 0 gegen 4 rechnen muss? Ich habe nämlich diese 3 Gleichungen in den Taschenrechner getippt und habe 3 eher komische Ergebnisse bekommen. Die Lösung sollte am Schluss y=-1/8 (x^4 - 15x^2 - 16) geben und ich habe keine Ahnung, wie man darauf kommen sollte.   ─   user75c0c0 12.12.2021 um 20:12

Oder muss man a und b ausrechnen bei der Gleichung mit dem Flächeninhalt?   ─   user75c0c0 12.12.2021 um 20:13

wenn du dir eine Skizze machst, merkst du , dass etwas mit den Integral Grenzen nicht stimmt   ─   honda 12.12.2021 um 20:17

Auch hier wieder das gleiche Problem: die Symmetrie wird wieder vergessen. Die Fläche zwischen dem Graphen und der $x$-Achse geht von wo bis wo?   ─   cauchy 12.12.2021 um 20:29

Keine Ahnung, langsam kapier ich gar nichts mehr.   ─   user75c0c0 12.12.2021 um 20:34

Hat dir das Video nicht geholfen?   ─   answer05 12.12.2021 um 20:35

Wenn nicht, dann versuch ich dir so zu helfen, dass du es auch verstehst.   ─   answer05 12.12.2021 um 20:36

Mach dir erstmal klar, wie eine zur $y$-Achse symmetrische Funktion 4. Grades aussieht und dann, welche Fläche gemeint ist. Dann dürfte klar sein, wie die Grenzen für das Integral zu wählen sind.   ─   cauchy 12.12.2021 um 20:38

Der erste Teil des Videos hat mir schon geholfen, aber ich komme trotzdem nicht weiter.   ─   user75c0c0 12.12.2021 um 20:38

hast du eine Skizze oder stehst du da drüber?   ─   patricks 12.12.2021 um 20:39

Ich habe eine Skizze. Der Graph sollte doch wie ein W aussehen, nicht? Aber dann würde es doch gehen wenn 0 gegen 4 geht oder nicht?   ─   user75c0c0 12.12.2021 um 20:42

Nö.   ─   cauchy 12.12.2021 um 20:43

Ich habe die Skizze nun so gemacht, dass der Graph auch durch y=2 und x=4 geht. Kann man dann den Integral 2 gegen 4 nehmen?   ─   user75c0c0 12.12.2021 um 20:45

Gesucht ist die Fläche zwischen Graph und $x$-Achse. Die wirst du doch wohl in deiner Skizze sehen, wenn du halbwegs ordentlich skizziert und die Symmetrie ausgenutzt hast.   ─   cauchy 12.12.2021 um 20:48

@honda Ich habe dein Kommentar noch gesehen, also ist es nun -4 geht gegen 0? Das habe ich nun auch in meiner Skizze erkannt.   ─   user75c0c0 12.12.2021 um 20:50

ich meine -4 gegen 2   ─   user75c0c0 12.12.2021 um 20:52

Für mich sieht das eher so aus, als würdest du raten.   ─   cauchy 12.12.2021 um 20:54

Nicht wirklich. Ich habe das Integral -4 gegen 2 ausgerechnet und komme auf 1056a/5 + 72b/3 + 6c
Falls jemand sieht, dass ich auf dem richtigen Weg bin, lass es mich bitte wissen.
  ─   user75c0c0 12.12.2021 um 21:05

Du machst eher Rückschritte. Warum denn jetzt von -4 bis 2?   ─   cauchy 12.12.2021 um 21:07

also die 2 ist ein Funktionswert, die Integralgrenzen sind immer nur x-Werte.   ─   patricks 12.12.2021 um 21:08

Ah ups, danke für den Hinweis.   ─   user75c0c0 12.12.2021 um 21:09

Ist es nun -4 gegen 4? Ansonsten wäre ich sehr froh, wenn jemand einfach sagen könnte was für Integralgrenzen es sind.   ─   user75c0c0 12.12.2021 um 21:16

jetzt passt es, du kannst aber auch 0 bis 4 nehmen, das wäre dann die Hälfte, lässt sich aber leichter rechnen   ─   patricks 12.12.2021 um 21:18

Ok. Ist es aber normal, dass ich so komische Werte herausbekomme: X1 = -37/256, x2= 33/16 und x3= 2 ?   ─   user75c0c0 12.12.2021 um 21:23

Sieht nach Rechenfehler aus.   ─   cauchy 12.12.2021 um 21:27

du meinst abc, gib doch mal bei geogebra ein, ob es passt   ─   patricks 12.12.2021 um 21:30

Ich hatte die Rechnung 1'024a/5 + 64b/3 + 4c - (-1'024a/5 - 64b/3 - 4c) Ist hier vielleicht ein Fehler passiert?   ─   user75c0c0 12.12.2021 um 21:30

Bis dahin siehts gut aus.   ─   cauchy 12.12.2021 um 21:38

Okay, ich habe es endlich geschafft und bin auf die Lösung gekommen. :) Danke an alle.   ─   user75c0c0 12.12.2021 um 22:30

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Das ist eines von denen welches ich mir angeschaut habe.
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Ich hoffe das hilft dir :)   ─   answer05 12.12.2021 um 19:44

Dankeschön
  ─   user75c0c0 12.12.2021 um 20:09

Gern :)   ─   answer05 12.12.2021 um 20:19

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