Hallo,

du hast hier einen Vorzeichenfehler

Da du vor dem Integral dadrüber ein \(- \) hast, musst du hier ein \( + \) setzen. 

Dadurch erhälst du die Gleichung

$$ \int \frac {\cos(x)} x \mathrm{d}x = \int \frac {\cos(x)} x \mathrm{d}x $$

und diese hilft uns leider nicht weiter. Die partielle Integration ist hier leider nicht zielführend. 

Tatsächlich ist diese Integral eins der Integrale die nicht gelöst werden können. Es gibt sogar eine Standardintegralfunktion für diese Funktion und diese wird Integralkosinus genannt. 

Das einzige was mir hier einfallen würde wäre die Nutzung der Taylorreihe. 

$$ \cos(x) = \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k \frac {x^{2k}} {(2k)!} $$

Dann kannst du diese durch \( x \) teilen und von diesem unendlichen Polynom das Integral berechnen. Am Ende dann eine Grenzwertbetrachtung und das könnte zielführend sein. Habe es aber noch nicht durchgerechnet.

Wenn du nicht weiter kommst, melde dich gerne nochmal :)

Grüße Christian

Ich würde das Integral erst "nach unten" abschätzen. Wegen \( \cos(x) \ge 1 -2x/\pi \) mache eventuell eine Skizze!), kann man für das Integral I schreiben:

\( I\ge \int_0^{\pi/2} (\frac{1-2x/\pi}{x}) dx = \int_0^{\pi/2} 1/x dx - 1\)

Und nun setzt Du im Integral die untere Grenze z.B. b und zeigst, dass das Integral divergiert, das ln(0) nicht existiert.