Moin,

es kommt immer darauf an, was man mit "sofort" meint. Der einfachste Weg hier ist vermutlich Folgender:$$1=A(z-1)(z+1)+B(z+1)+C(z-1)^2$$jetzt multipliziert man aus und vergleicht Koeffizienten: $$1=(A+C)z^2+(B-2C)z+B+C-A$$also $$A+C=0 \\ B-2C=0 \\B+C-A=1$$Daran kann man relativ einfach $C=\frac{1}{4}$, $A=-\frac{1}{4}$ und $B=\frac{1}{2}$ ablesen. Ob man diese Rechnung "sofort" im Kopf machen kann hängt von der person ab die sie durchführt. Es ist ja nicht schwierig, aber um sicherzugehen, dass man keine Fehler macht, sollte man sich die wichtigsten Rechenschritte doch aufschreiben.
Ich hoffe ich konnte alles klären.

LG

1. Schritt: auf den Hauptnenner, Zähler betrachten, gibt $1=...$ (siehe andere Antwort). Dann $z=1$ und $z=-1$ einsetzen gibt sofort C bzw. B. Mit etwas Übung sieht man das sofort.