Partialbruchzerleung schnell berechnen

Aufrufe: 224     Aktiv: 19.06.2023 um 14:43

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Hallo!
ich möchte eine PBZ machen. Das kann ich auch. Ich verstehe allerdings nicht, warum man sofort sagen kann, dass B=1/2 und C=1/4 ist.
Kann mir jemand das freundlicherweise erklären?


Besten Dank :)
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Vielleicht ist ja die Musterlösung auch falsch und man kann es gar nicht sofort sagen? Danke nochmal!   ─   komplexeanalysis 18.06.2023 um 13:23
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Moin,

es kommt immer darauf an, was man mit "sofort" meint. Der einfachste Weg hier ist vermutlich Folgender:$$1=A(z-1)(z+1)+B(z+1)+C(z-1)^2$$jetzt multipliziert man aus und vergleicht Koeffizienten: $$1=(A+C)z^2+(B-2C)z+B+C-A$$also $$A+C=0 \\ B-2C=0 \\B+C-A=1$$Daran kann man relativ einfach $C=\frac{1}{4}$, $A=-\frac{1}{4}$ und $B=\frac{1}{2}$ ablesen. Ob man diese Rechnung "sofort" im Kopf machen kann hängt von der person ab die sie durchführt. Es ist ja nicht schwierig, aber um sicherzugehen, dass man keine Fehler macht, sollte man sich die wichtigsten Rechenschritte doch aufschreiben.
Ich hoffe ich konnte alles klären.

LG
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Student, Punkte: 3.85K

 

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1. Schritt: auf den Hauptnenner, Zähler betrachten, gibt $1=...$ (siehe andere Antwort). Dann $z=1$ und $z=-1$ einsetzen gibt sofort C bzw. B. Mit etwas Übung sieht man das sofort.
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