Eine kleine Beweisaufgabe

Aufrufe: 860     Aktiv: 10.03.2020 um 23:21

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Guten Abend

Könnte mir jemand beim Beweis der Teilaufgabe b helfen? Die a habe ich soweit hinbekommen.

Der Hinweis sagt, dass ich \( \varphi = \varphi_2  / \varphi_1 \)  setzen soll und den Satz von Rolle verwenden muss.

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Satz von Rolle:

Seien \(a < b\) und \(f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion, die im offenen Intervall (a,b) diffbar ist.

Erfüllt sie \(f(a) = f(b) \), so \(\exists \;  x_0 \in (a,b) \), sodass \(f'(x_0) = 0\).

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Da \(\varphi_1, \varphi_2\) ein Fundamentalsystem bilden und wir im Zweidimensionalen sind müssen diese ja voneinander linear unabhängig sein.

Ich seh aber noch nicht ganz wie ich den Hinweis sinnvoll nutzen kann. Warum muss die Nullstelle von \(\varphi_1\) zwischen zwei Nullstellen von \(\varphi_2\) sein?

Danke für eure Tipps :-)

 

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Wir betrachten \(\varphi\) wie im Hinweis. Seien \(a,b\) zwei aufeinanderfolgende Nullstellen von \(\varphi_2\). 

Wir werden die Annahme, dass \(\varphi\) auf ganz \((a,b)\) definiert ist, zum Widerspruch führen:

Falls dies gilt, ist \(\varphi\) in diesem Intervall stetig, da die beiden Fundamentallösungen stetig sind. Ebenso ist \(\varphi(a)=\varphi (b)=0.\) Nach dem Satz von Rolle gäbe es dann ein \(x\) mit \(\varphi'(x)=0.\) Aber es ist \(\varphi'=\frac {\varphi_2'\varphi_1-\varphi_1\varphi_2'}{\varphi_1^2}\), wobei der Zähler genau die Determinante aus a) und damit nicht 0 ist. Widerspruch. 

Folglich hat \(\varphi\) eine Definitionslücke und damit \(\varphi_1\) eine Nullstelle.

Vertauscht man die Rolle von \(\varphi_1\) und \(\varphi_2\), findet man auch eine Nullstelle von \(\varphi_2\) zwischen zwei Nullstellen von \(\varphi_1\), also kann letztere nur eine Nullstelle zwischen \(a\) und \(b\) haben.

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Super vielen Dank habe es verstanden. Hätte wohl ein bisschen gedauert bis ich das gesehen hätte.   ─   wizzlah 10.03.2020 um 23:21

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