Wir betrachten \(\varphi\) wie im Hinweis. Seien \(a,b\) zwei aufeinanderfolgende Nullstellen von \(\varphi_2\).
Wir werden die Annahme, dass \(\varphi\) auf ganz \((a,b)\) definiert ist, zum Widerspruch führen:
Falls dies gilt, ist \(\varphi\) in diesem Intervall stetig, da die beiden Fundamentallösungen stetig sind. Ebenso ist \(\varphi(a)=\varphi (b)=0.\) Nach dem Satz von Rolle gäbe es dann ein \(x\) mit \(\varphi'(x)=0.\) Aber es ist \(\varphi'=\frac {\varphi_2'\varphi_1-\varphi_1\varphi_2'}{\varphi_1^2}\), wobei der Zähler genau die Determinante aus a) und damit nicht 0 ist. Widerspruch.
Folglich hat \(\varphi\) eine Definitionslücke und damit \(\varphi_1\) eine Nullstelle.
Vertauscht man die Rolle von \(\varphi_1\) und \(\varphi_2\), findet man auch eine Nullstelle von \(\varphi_2\) zwischen zwei Nullstellen von \(\varphi_1\), also kann letztere nur eine Nullstelle zwischen \(a\) und \(b\) haben.
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