Das Kreuzprodukt $v \times w$ hilft hier weiter.
Es gilt nämlich:
1. $\vec{v} \times \vec{w}$ bildet sowohl mit v als auch mit w einen rechten Winkel.
2. $\vec{v} \times \vec{w}\not= 0$, wenn $\vec{v}\not=0$, $\vec{w}\not=0$ und $\vec{v}, \vec{w}$ nicht kolinear sind

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} v_1\\v_2\\v_3\end{array}\right)$  und $\vec{w} = \left(\begin{array}{c} w_1\\w_2\\w_3\end{array}\right)$ ist definiert als $\left(\begin{array}{c}   v_2 w_3 - v_3 w_2\\   v_3 w_1 - v_1 w_3 \\   v_1 w_2 - v_2 w_1 \end{array}\right)$.

Siehe auch hier.