Das Kreuzprodukt \(v \times w\) hilft hier weiter.
Es gilt nämlich:
1. \(\vec{v} \times \vec{w}\) bildet sowohl mit v als auch mit w einen rechten Winkel.
2. \(\vec{v} \times \vec{w}\not= 0\), wenn \(\vec{v}\not=0\), \(\vec{w}\not=0\) und \(\vec{v}, \vec{w}\) nicht kolinear sind

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren \(\vec{v} = \left(\begin{array}{c} v_1\\v_2\\v_3\end{array}\right)\)  und \(\vec{w} = \left(\begin{array}{c} w_1\\w_2\\w_3\end{array}\right)\) ist definiert als \( \left(\begin{array}{c}
  v_2 w_3 - v_3 w_2\\
  v_3 w_1 - v_1 w_3 \\
  v_1 w_2 - v_2 w_1
\end{array}\right) \).

Siehe auch hier.