Achte auf die Begriffe: "...Folge auch stetig sein..."??? Und wieso natürliche Zahlen?

Es gibt sehr wohl rechts- und linksseitige Grenzwerte. Die Folgen $x_n$ sind aus dem Defbereich zu wählen, so dass sie gegen die (isolierte) Stelle $x_0$ konvergieren. Überlege Dir, was das bedeutet und was daraus folgt.

Doch die Grenzwerte existieren durchaus, du musst dir nur die Definition etwas genauer anschauen.
Ich verwende jetzt hier den Folgen Grenzwert da du ihn angesprochen hast:

Die Definition der Stetigkeit über den Grenzwert von Folgen findest du hier:
[Stetige Funktion – Wikipedia]

f ist an einem isolierten Punkt \(x_{0}\) definiert, also wäre eine gegen \(x_{0}\) konvergente Folge trivialerweise.: \(x_{n}\) = \(x_{0}\) für alle \( n \in \mathbb{N}\).
Das ist aber auch die einzige Folge die gegen \(x_{0}\) konvergiert, da der Definitionsbereich von f keine anderen Elemente hat.

Damit gilt für alle gegen \(x_{0}\) konvergenten Folgen also auch \(f(x_{n}) = f(x_{0}\)), also ist die Funktion stetig.

Intuitiv macht das insofern Sinn. dass die Stetigkeit garantiert, dass eine Funktion auf ihrem Definitionsbereich keine "Sprünge" hat. Da aber der Definitionsbereich von f nur ein Element hat, hat die Funktion auch für alle Elemente in ihrem Definitionsbereich denselben Wert und kann gar keinen Sprung in dem Sinne haben. 

Der Fehlschluss passiert wahrscheinlich wenn du dir die Funktion auf der reellen Achse vorstellst, was aber nicht ihr Definitionsbereich ist.