Gruppentheorie

Aufrufe: 504     Aktiv: 06.01.2021 um 20:24
0

Hallo,

ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe:

Also ich habe da ein paar grundlegene Fragen, vielleicht habe ich da auch was falsch verstanden:

1.) Eine Gruppe hat im Gegensatz zu einem Monoid ein Inverses zu jedem Element in der Gruppe als Eigenschaft gegeben. D.h. wenn z.B. E \(\subseteq \) R ist, mit R als die ganze Menge und E ein Monoid aus dieser Menge. Und ich habe noch A\(\subseteq\) R, mit A als Untergruppe von R, dann müsste doch eigentlich A>E gelten, oder?

Doch wie kann dann A eine Untergruppe von E sein?

2.) Also nehmen wir an A ist eine Untergruppe von E, was müsste dann gelten? A müsste dann doch das gleiche neutrale Element haben und abgeschlossen sein und zusätzlich müssten die Elemente in A invertierbar sein, oder?

Also zusammengefasst: Ich verstehe nicht ganz, wie man zeigen soll, dass A eine Untergruppe des gegebenen Monoids ist, da es für mich keinen Sinn ergibt, dass ein Monoid eine Untergruppe besitzt.

Vielen Dank im Voraus und LG.

Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 101

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
1

Deinen Punkt 1) verstehe ich nicht, das ergibt keinen Sinn. Die Rolle von \(E\) ist unklar.

Es spricht nichts dagegen, dass ein Monoid einen Untermonoid besitzt, der sogar eine Gruppe ist. Diesen nennt man dann Untergruppe.

Du musst einfach nur zeigen, dass \(A\) ein Untermonoid ist und dass jedes Element von \(A\) ein Inverses in \(A\) besitzt, und zwar bezüglich des neutralen Elements \(\mathrm{id}_{\mathbb{R}}\). Die Inversen Elemente kannst Du einfach direkt ausrechnen.

Hilft das?

Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 4K

 
Vielen Dank für die Antwort, das hat schonmal geholfen!

Was ich mit meinem Punkt 1,) meinte, ist Folgendes:
In einem Monoid hat ja nicht jedes Element ein Inverses, in einer Gruppe schon. D.h. doch, dass eine Gruppe zwangsläufig mehr Elemente umfassen muss als ein Monoid und damit mächtiger ist als dieses (vorausgesetzt man spricht von der gleichen Menge). Des Weiteren ist es ja so, dass die Eigenschaften einer Gruppe auf ihre Untergruppe vererbt werden, wie z.B. neutrales Element, Invertierbarkeit usw. Deshalb verstehe ich nicht ganz, wie ein Monoid eine Untergruppe habe kann, denn diese "Untergruppe" hat ja mehr Eigenschaften als das Monoid selbst. Ich dachte, dass man bei Gruppen von Untergruppen und bei Monoiden von Untermonoiden spricht, also sozusagen eine "Rangordnung" aufstellen könnte mit Untermonoid < Monoid < Untergruppe < Gruppe

Ich hoffe, das macht mein Problem klarer!
LG   ─   physikstudent(1.s) 06.01.2021 um 19:47
Ok, ich verstehe. Diese Aufgabe zeigt Dir als Beispiel, dass dein Gedankengang falsch ist, dass also ein Untermonoid *bessere* Eigenschaften haben kann, in diesem Fall also, dass alle Elemente ein Inverses besitzen. Stelle Dir das so vor, dass man beim Übergang vom Monoid zur Untergruppe mindestens alle Elemente weglässt, die kein Inverses haben.   ─   slanack 06.01.2021 um 20:19
Alles klar, vielen Dank für die Hilfe und das Verstehen!   ─   physikstudent(1.s) 06.01.2021 um 20:23

Kommentar schreiben