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Kann man das so sagen:

Wären die Vektoren linear abängig, dann müssten diese sich linear auseinade kombinieren lassen, das heißt dass sie im gelcien Eigenraum enthalten sein müssten. Dies führt jedoch zu eienem Wirderspruch, da ein Eigenraum ja  nur aus der Menge der Vektoren zu einem gewissen Eigenwert besteht. Der Eigenwert ist also für alle Vektoren eines Eigenraumes der gleiche. Diese Aussage wirderspricht jedoch der Aussage dass die Eigenweerte verschiden sein sollen.

Also müssen die Vekoren linear unabhängig sein.
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Wenn die Vektoren linear abhängig wären, würde sich einer mit den anderen linear kombinieren lassen. So wie du argumentierst geht es nur für zwei
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Da hast du natürlich wieder Recht. Wäre nach dieser Korrektur durch Widespruch bewiesen, dass die Eigenvektoren zu unterschiedlich Eigenwerten linear unabhängig sind?   ─   schuler3 19.05.2022 um 13:45

Leider nicht, wir finden jetzt nur \(\eta_2,\ldots, \eta_{r}\in K\) mit \(v_1=\eta_2v_2+\ldots +\eta_rv_r\), also ist auch nur \(\eta_2v_2+\ldots+\eta_rv_r \in V_{\lambda_1}\). Mit deiner Methode kann man nur im Fall von zwei Vektoren arbeiten, dann ist \(v_1=\eta_2v_2\) und \(\eta_2v_2\in V_{\lambda_1}\) und damit auch \(v_2\in V_{\lambda_1}\), woraus sich ergibt \(\lambda_1=\lambda_2\)   ─   mathejean 19.05.2022 um 14:10

Wie würde man dann bei mehreren Vektoren wie im oberen Fall arbeiten?
  ─   schuler3 19.05.2022 um 14:17

Ich würde mit Induktion arbeiten, für \(n=2\) wissen wir ja jetzt (noch einfacher \(n=1\), hier ist nichts zu zeigen), willst du den Induktionsschritt selber versuchen?   ─   mathejean 19.05.2022 um 14:21

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