Beweis: gcd(a,b) = gcd(b,r)

Aufrufe: 524     Aktiv: 06.05.2021 um 09:38
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Hallöchen! 

Möchte mir hier jemand behilflich sein bei der letzten Aufgabe, die mir noch fehlt? Und zwar folgendes, ich soll hier ja beweisen, dass gcd(a,b) den gleichen gemeinsamen Teiler hat wie gcd(b,r).

Ich habe mir natürlich ein bisschen was überlegt, damit ich nicht ganz ohne Ansatz hier herum frage, also folgendes:

 

Mein "kleiner aber feiner" Ansatz ヽ(゜▽゜　)－

Wir haben ein a gegeben für das gilt: a = b * q + r. 

Nun definiere ich hier eine Menge T = {t ∈ Z | t|a,  t|b} (also wir haben hier eine Menge, die alle gemeinsamen Teiler t von a und b beinhaltet).
Und dann definiere ich noch eine weitere Menge T' = {{t ∈ Z | t|b,  t|r }, die einfach alle gemeinsamen Teiler von b und r trägt.

So und jetzt sage ich einfach sei x ∈ T, so dass gilt: x|a und x|b 

 r = a - bq  

x|a, x|b --> x|(a - bq) --> x|r

 

Sei x ∈ T', so dass gilt: x|b und x|r

a = b * q + r 

 x|b, x|r  ---> x|(bq + r) ---> x|a

 

Nun haben wir gezeigt, dass T = T' ist und daher haben gcd(a, b) und gcd(b, r) den gleichen gemeinsamen Teiler. 

 

Mein Problem  ┗|｀O′|┛

Ist dies ein glaubwürdiger Beweis hier? Bzw. kann ich das so machen? 

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Idee gut, Ausführung auch. Das Aufschreiben ist etwas verbesserungsbedürftig.
"beweisen, dass gcd(a,b) den gleichen gemeinsamen Teiler hat wie gcd(b,r).": Wieso DEN gleichen gemeinsamen Teiler? Es gibt nicht DEN Teiler. Es gibt viele.
Es soll gezeigt werden: gcd(a,b)=gcd(b,r). Punkt, fertig. Nicht herumschwurbeln bitte.
gcd ist der ggT. Die Menge der gemeinsamen Teiler von a und b ist gleich der Menge der gemeinsamen Teiler von b und r, laut Deinem richtigen Beweis. Dann sind natürlich auch die größten Elemente der beiden Mengen gleich, das sind eben die ggTs, fertig.
Die Aussage ist übrigens die Basis des euklidischen Algorithmus: Das Bestimmen von ggT(a,b) wird auf das Bestimmen von ggT(b,r) zurückgeführt. Vorteil: b und r sind kleinere Zahlen, denn b<a und r<b. Beide Zahlen werden kleiner. Das kann man dann weiterführen. Da diese Zahlen immer kleiner werden, ist irgendwann Schluss damit, denn kleiner als 0 geht ja nicht.
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Also erstens: Dankeschön für deinen schönen, hilfreichen und doch ausführlichen Kommentar! :D
Und ja da stimme ich Dir auch voll und ganz zu, dass meine Sätze/Formulierungen noch verbesserungsbedürftig sind..

Eine kleine Frage habe ich noch:
Also ich muss meistens die Aufgaben bei meinem Professor präsentieren und wie sage ich oder formuliere ich das hier am Besten "gcd(a,b)=gcd(b,r)"? Denn meistens möchte der Professor einen genaue Bezeichnung hören, damit er weiß, dass ich es auch verstanden habe. (￣ε(#￣)

Vielleicht, dass die gemeinsamen Teiler von a, b gleich gemeinsame Teiler von b, r sind?
   ─   thepeasant 05.05.2021 um 23:11
Oh dann formuliere ich es auch so, vielen vielen Dank! Du warst wirklich eine große Hilfe für mich! (*/ω＼*)   ─   thepeasant 06.05.2021 um 09:38

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