X, Y Zufallsvariablen | Bestimme IP(X > Y)

Aufrufe: 165     Aktiv: 03.07.2022 um 16:40

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Wie bestimme ich die Wahrscheinlichkeit, dass die ZV X größer ist als Y? Die ZVen X und Y sind unabhängig. Deshalb kann ich $P(X>Y) = P(X-Y>0)$ machen. Wie bestimme ich nun die Dichte zu X-Y?

EDIT vom 30.06.2022 um 18:01:

Dichtefunktion: $f_{X,Y}(x,y)$ =  $\frac{k^2}{4}$ $e^{-k(|x|+|y|)}$
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Student, Punkte: 16

 

Ist das alles, was gegeben ist?   ─   cauchy 29.06.2022 um 19:04

Ne, die Dichte ist gegeben und eben, dass X und Y unabhängig sind. Die Dichte füge ich mal ein.   ─   anonymaa0df 30.06.2022 um 17:53
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Die Aufgabe lässt sich direkt über die Definition der Verteilungsfunktion lösen. Das ist ein Doppelintegral. Du musst nur darauf achten, wie die Grenzen zu wählen sind. Aufgrund der Unabhängigkeit lassen sich auch die Dichten von $X$ bzw. $Y$ angeben.
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Selbstständig, Punkte: 23.88K

 

Ich habe die Randdichten jeweils bestimmt. $f_X(x)$=$\frac{\lambda}{2}e^{-\lambda|x|}$ und $f_Y(y)$=$\frac{\lambda}{2}e^{-\lambda|y|}$, wobei $x, y \in \mathbb{R}$
Zur Verteilungsfunktion: Müsste ich nicht das Integral von $f_X(x)$ und $f_Y(y)$ einfach berechnen, weil das Doppelintegral $\iint_{\mathbb{R}}$ = $f_{X,Y}(x,y)dxdy$ wird doch laut Definition 1 ?
  ─   anonymaa0df 30.06.2022 um 19:34

Ich habe geschrieben, dass du auf die Grenzen achten musst. Es soll ja $X>Y$ sein. Du integrierst also gerade nicht über ganz $\mathbb{R} ^2$ und deswegen kommt auch nicht 1 raus.   ─   cauchy 30.06.2022 um 19:37

Wenn $X>Y$, sind dann die Grenzen $\int_{0}^{x-y}$$\int_{0}^{x-y}$ $f_{X,Y}(x,y)dxdy$? Das sieht irgendwie nicht richtig aus, wie komme ich auf die Grenzen?

Ich habe überlegt, dass es vielleicht $\int_{x-y}^{\infty}$$\int_{-{\infty}}^{x-y}$ $f_{X,Y}(x,y)dxdy$? Da $-\infty>x-y>0$ und $0>y-x>\infty$
  ─   anonymaa0df 30.06.2022 um 19:50

Versuch mal den Bereich zu zeichnen, um den es geht. Und dann überlege dir von wo bis wo $X$ und $Y$ jeweils laufen.   ─   cauchy 30.06.2022 um 19:50

Okay, ich versuche mal.   ─   anonymaa0df 30.06.2022 um 19:54

Also da ich die Funktion selbst nicht zeichnen kann, habe ich sie in ein Rechner geschmissen. Für ein größer werdendes $\lambda$, wird die Funktion zu einer Ebene auf y=0 und $-\infty < x < \infty$   ─   anonymaa0df 30.06.2022 um 20:05

Aufgrund meiner Abschätzung von eben: $-\infty>x-y>0$ und $0>y-x>\infty$ $\Leftrightarrow$ $-\infty>x>y$ und $x>y>\infty$, sind die Grenzen vielleicht $\int_{-\infty}^{y}$$\int_{x}^{\infty}$ $f_{X,Y}(x,y)dydx$?   ─   anonymaa0df 30.06.2022 um 20:12

Die Funktion musst du auch nicht zeichnen können, um die geht es ja nicht. Es geht um den Integrationsbereich.

Deine Abschätzung ist ziemlicher Käse und auch gar nicht notwendig. Folglich stimmen Deine Grenzen auch nicht. Bei dir läuft $X$ von $-\infty$ bis $Y$ und $Y$ von $X$ bis $\infty$. Wird dadurch wirklich $X>Y$ beschrieben?
  ─   cauchy 30.06.2022 um 20:51

$-\infty < x < \infty$, da $X$ unbeschränkt ist und die Grenzen für $Y$ sind $(x-y)$ und $-(x-y)$ =$(y-x)$? Also quasi $\int_{y-x}^{x-y}$? Sonst habe ich echt keine Idee… :(
  ─   anonymaa0df 30.06.2022 um 21:19

Damit meine ich dann das Doppelintegral $\int_{\infty}^{-\infty}$ $\int_{y-x}^{x-y}$ $dydx$   ─   anonymaa0df 30.06.2022 um 22:12

$X$ ist gerade nicht unbeschränkt, da es nach unten durch $Y$ beschränkt ist. Wenn du sagst, dass $X$ von $-\infty$ bis $\infty$ läuft, wie müssen denn dann die Grenzen für $Y$ sein, wenn $X>Y$ gilt? Und komm mal von dem $x-y$ weg, das brauchst du hier gar nicht.   ─   cauchy 01.07.2022 um 00:28

Wenn $X$ durch $Y$ nach unten beschränkt ist, und oben durch $\infty$, ist dann $Y$ nach oben durch $X$ beschränkt und unten durch $-\infty$ oder?   ─   anonymaa0df 01.07.2022 um 11:21

Also quasi: $\infty > X > Y$ und $X > Y > -\infty$   ─   anonymaa0df 01.07.2022 um 11:24

Bekommst du damit die Grenzen raus?   ─   cauchy 01.07.2022 um 21:10

Also, wenn diese Ungleichungen stimmen sollten, wären die Grenzen bzw. das Doppelintegral $\int_{-\infty}^{x}$$\int_{y}^{\infty}$ $f_{X,Y}(x,y)dxdy$, stimmt das?   ─   anonymaa0df 03.07.2022 um 13:53

Nein. Damit hast du doch sonst am Ende eine Variable im Ausdruck, aber es soll ja eine Zahl rauskommen. Wurden noch nie Doppelintegrale gebildet und berechnet?   ─   cauchy 03.07.2022 um 14:05

Doch Doppelintegrale schon, aber wo die Grenzen bereits vorgegeben sind. Hier stand nur: Berechne $P(X>Y)$ mit einer gegebenen Dichte.
Seit fast 4 Tagen knobel ich an der Aufgabe und komme zu keinem Ergebnis… Ich komme leider nicht auf die Grenzen.
  ─   anonymaa0df 03.07.2022 um 14:57

Du lässt eine Variable über ganz $\mathbb{R}$ laufen und die andere Variable musst du dann entsprechend anpassen. Ich bin verwundert, dass sowas nicht in den Unterlagen steht. Und andere Beispiele gibt es auch nicht?   ─   cauchy 03.07.2022 um 16:40

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