Behauptung   Seien A, B und C Mengen, dann ist (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). Das heißt es gilt ein Assoziativgesetz für die Vereinigungsmenge.

Beweis           Seien A, B und C Mengen, dann gilt für jedes Objekt x folgendes:

x ∈ (A ∪ B) ∪ C | Definition ∪
⇔ (x ∈ (A ∪ B)) ∨ (x ∈ C) | Definition ∪
⇔ ((x ∈ A) ∨ (x ∈ B)) ∨ (x ∈ C) | Assoziativgesetz für ∨
⇔ (x ∈ A) ∨ ((x ∈ B) ∨ (x ∈ C)) | Definition ∪
⇔ (x ∈ A) ∨ ((x ∈ B) ∪ C) | Definition ∪
⇔ (x ∈ A ∪ (B ∪ C)) 

Da zwei Mengen gleich sind, wenn sie dieselben Elemente enthalten und die obige Kette eine Kette von Äquivalenzen ist, folgt: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). 

Hier ist irgendwo ein Fehler drin, allerdings schaffe ich es nicht den Fehler zu finden, es wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte. Außerdem komme ich bei der zweiten Aufgabe auch nicht weiter, wenn jemand sehr viel Langeweile hat, kann die Person auch sehr gerne da drüber gucken. Vielen Dank im Voraus! :D

b) Seien A, B und C Mengen. Beweisen Sie das Distributivgesetz (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) für Mengen.

Wir sollen das so Beweisen wie in dem Bewies oben, dazu benötigen wir ein bestimmtes Distributivgesetz der Aussagenlogik aber ich weiß nicht welches.