Lösbarkeit eines 4x4 LGS mit 2 Parametern

Aufrufe: 301     Aktiv: 18.07.2023 um 17:06

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Moin, ich bin bei dieser Aufgabe etwas ratlos. Wie muss ich das machen?

4 LGS:

x1 =1

a*x1+x2+2*x3=1

b*x2+x4=1

x1+x3+2*x4=1

a) Für welche Werte von a und b ist das LGS eindeutig lösbar?

b) Existiert ein Wert für b für den keine eindeutige lösung existiert? Wenn ja, beschreiben Sie das Lösungsverhalten des LGS.

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Student, Punkte: 10

 
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Das geht wie immer, und am einfachsten mit Gauß. Man kann sich viel Arbeit sparen, wenn man $x_1=1$ bereits einsetzt.
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Damit könnte ich Frage a beantowrten. Aber wie muss ich b) machen? Was genau ist überhaupt gefragt? Besonders der Teil "Wenn ja, beschreiben Sie das Lösungsverhalten des LGS." irritiert mich.   ─   steffen 18.07.2023 um 13:20

Mach doch erstmal a). Man fängt Mathe-Aufgaben nicht erst an, wenn man im Kopf alles bis zum Ende durchgedacht hat. Nach a) wird vieles klarer. Auch Deine Irritation ist frühestens nach Lösen von a) und des ersten Teils von b) berechtigt.   ─   mikn 18.07.2023 um 13:37

Na gut. Nach Gauß komme ich in der 4. Zeile für x4 auf 4b+1 (erweiterte Koeff-Matrix) = ab-b+1 Wenn b = -1/4 ist wird die 4. Zeile zu 0, daher keine Lösung. Daher darf b nicht -1/4 sein. Ist das schon eindeutig? Wenn ich b =-1/4 in die erweiterte Koeff-Matrix einsetze ist a = 5. Also muss auch a was anderes als 5 sein?   ─   steffen 18.07.2023 um 14:59

Die Frage in a) ist: für welche a,b ist die Lösung eindeutig? b nicht -1/4 ist richtig. Und für welche a? Probiere notfalls ein paar a einfach aus.   ─   mikn 18.07.2023 um 15:06

Hab die erweiterte Koeff-Matrix mit b=-1/4 ausgerechnet. ergibt a*-1/4--1/4+1 wenn = 0 dann ist a =5. Dann wäre der Rang der erw. KM größer als der normalen KM, also keine eindeutige Lösung. Daher darf a nicht 5 sein. Spielt die Größe von a überhaupt eine Rolle? b wird ja nur durch den Rang der 4x4 Koeff-Matrix bestimmt und a habe ich da rausgerechnet.   ─   steffen 18.07.2023 um 15:11

Man muss hier nicht mit Kanonen auf Spatzen schießen und es unnötig kompliziert machen. Gauß/Rang/Koeff-Matrix und all das braucht man nicht. Und wer's einfach mag, nutzt das auch nicht. Das LGS lässt sich leicht durch ein paar Umformungen lösen.
Erst sagst Du, a nicht 5, dann dass es keine Rolle spielt. Was denn nun?
  ─   mikn 18.07.2023 um 15:29

Wenn ich das wüsste wäre ich nicht hier^^ Wie würdest du das ganze durch Umformungen lösen? Ich bin mit meinem Mathe-Latein am Ende.   ─   steffen 18.07.2023 um 15:34

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Genauso wie man ein LGS ohne Parameter löst. Lad doch mal deine Rechnung dazu hoch.   ─   cauchy 18.07.2023 um 15:36

Habs mal mit der Determinanten versucht. a verschwindet wieder und det = -1-4b. Ergibt wieder b = -1/4 wenn -1-4b=0. Dann hat mein Professor b in den Gauß-Algorithmus eingestzt und kommt auf a =5 wie ich vorher auch. Leider beendete er die Aufgabe mit der Aussage, dass b =-1/4 und a=5 eine Lösung sind, aber keine eindeutige. Daher versteh ich nur noch Bahnhof.   ─   steffen 18.07.2023 um 17:06

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