Parallelogramm das von zwei Vektoren aufgespannt wird

Aufrufe: 19     Aktiv: 26.03.2021 um 20:18

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Es seien zwei Vektoren, die nicht parallel sind. Grafisch soll skizziert werden, wie die Fläche des Parallelogramms berechnet werden kann, das von den beiden Vektoren als Seiten definiert wird(wie kann ich mir das veranschaulich machen? Dieser Punkt ist nicht nachvollziehbar für mich.) 

mit welcher eingeführten Größe ist die Parallelogrammgröße verknüpft?
 
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Wenn ich mich recht erinnere, entspricht der Betrag des Kreuzprodukts der Vektor gerade dem Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms.

Also kurz:

Fläche=|v1 x v2|

 

Kann mich aber auch irren, würde nur einmal in der Schule irgendwann beiläufig gesagt.


Wenn du es geometrisch und damit nachvollziehbar berechnen willst, kannst du die Beträge der Vektoren bestimmen, die ja letztlich die Seitenlängen angeben.

und mit Skalarprodukt und arccos den Winkel zwischen den beiden vektoren bestimmen.

und mit den üblichen Formeln des parallellogramms den Flächeninhalt bestimmen.


Kurzum mal durhcprobiert:
Höhe des Parallelogramms h=|v2|*sin(winkel)

Fläche A=höhe h mal |v1|
insgesamt also A=|v1|*|v2|*sin(winkel dazwischen)

nun gilt rein zufällig für das kreuzprodukt zweier vektoren:
|axb|=|a|*|b|*sin(winkel)

ergibt mit unseren vektoren und nach dem sinus aufgelöst:

sin(winkel)=|v1 x v2| / (|v1|*|v2|)

ergibt oben eingesetzt:

A=|v1|*|v2|*sin(winkel dazwischen)

=|v1| *|v2| *|v1 x v2| / (|v1|*|v2|)

= |v1 x v2|

mein Gedächtnis hat mich also nicht getäuscht, der betrag vom kreuzprodukt entspricht tatsächlich dem flächeninhalt von de parallellogramm :-)

Die Formel |axb|=|a|*|b|*sin(winkel) habe ich übrigens von wikipedia, laut wikipedia gibts diese formel :-)

 

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