Konvergenz einer Reihe

Aufrufe: 80     Aktiv: 16.12.2021 um 13:24

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Hallo, diese Aufgabe von H2020, T3, A2 soll ich beantworten. Die a) läuft ohne Probleme.
Aber bei der b) weiß ich einfach nicht weiter. Ich habe noch nie eine Aufgabe gelöst, wo zwei Summen 
dabei sind.

Meine Idee: mit dem Wurzelkriterium lösen.
Ich schaue mir also die erste Summe an und wende auf 1/k das Wurzelkriterium an und ziehe die Summe raus. Dann erhalte ich, wenn ich die Wurzel ziehe, die Summe aus 1. Dann habe ich noch die Summe 1 und x^n. Ich weiß nicht, ob es bisher richtig ist, aber was anderes fällt mir nicht ein.
Ich versteh nicht mal wieso 1/k gegen 1 konvergiert, wenn die Folgenglieder (1; 0,5; 0,25;...) lauten...Das ist ja dann doch mehr als eins. 

Vielleicht kann mir jemand helfen! Danke schon einmal :)

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Student, Punkte: 54

 
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Deine Erklärungen verstehe ich nicht, scheinen mir aber falsch, weil man mit der Wurzel nichts vereinfachen kann. Wenn Du eigene Rechnungen hast, poste sie hier (anstelle sie mit Worten zu beschreiben).
Egal, wieviel Summen oder was sonst auftreten, die math. Regeln bleiben die gleiche (das ist ja das schöne). Man muss eben nur sorgfältig abschreiben und darf keine Angst haben.

b) ist eine Potenzreihe, man kümmert sich also nur um $a_n=\sum\limits_{k=1}^n \frac1k$ um den Konvergenzradius zu berechnen. Wenn Dir das nicht sagt, nimm das normale Quotientenkriterium, kommt auf's gleiche raus, kommt nur noch der Faktor $x^n$ dazu.
Dann geht es um $\frac{a_n}{a_{n+1}}$. Das forme etwas um, schreibe dazu $a_n=a_{n+1}-\frac1{n+1}$ im Zähler, ziehe den Bruch auseinander in die Form $1-\frac1{...}$. Zeige dann, dass $\lim ... =\infty$, also $\rho = \lim \frac{a_n}{a_{n+1}} =1$. Die Reihe konvergiert also für alle $x\in (-1,1)$ und für alle $|x|>1$ tut sie das nicht. Die verbleibenden $x$, also $x=-1$ und $x=1$ untersucht man direkt ohne Kriterien durch Einsetzen.
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Danke mikn, ich werde mich gleich einmal dran setzten und es versuchen! Deine Antwort werd ich dann Schritt für Schritt versuchen zu verstehen und wenn es so wie eine normale Summe zu behandeln ist, werd ich sicher auf dein Ergebnis kommen. Danke für deine ausführliche Antwort!

Vielen Dank auch für deine konstruktive Kritik, das nächste Mal poste ich meine Rechnung gleich. Im Nachhinein betrachtet auch schlauer.
  ─   trivial1603 16.12.2021 um 07:27

"Schritt für Schritt" ist gut, so geht es bei Mathe-Aufgaben voran. Wenn's doch noch irgendwo hakt, melde Dich ruhig nochmal.   ─   mikn 16.12.2021 um 13:24

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