Deine Erklärungen verstehe ich nicht, scheinen mir aber falsch, weil man mit der Wurzel nichts vereinfachen kann. Wenn Du eigene Rechnungen hast, poste sie hier (anstelle sie mit Worten zu beschreiben).
Egal, wieviel Summen oder was sonst auftreten, die math. Regeln bleiben die gleiche (das ist ja das schöne). Man muss eben nur sorgfältig abschreiben und darf keine Angst haben.

b) ist eine Potenzreihe, man kümmert sich also nur um $a_n=\sum\limits_{k=1}^n \frac1k$ um den Konvergenzradius zu berechnen. Wenn Dir das nicht sagt, nimm das normale Quotientenkriterium, kommt auf's gleiche raus, kommt nur noch der Faktor $x^n$ dazu.
Dann geht es um $\frac{a_n}{a_{n+1}}$. Das forme etwas um, schreibe dazu $a_n=a_{n+1}-\frac1{n+1}$ im Zähler, ziehe den Bruch auseinander in die Form $1-\frac1{...}$. Zeige dann, dass $\lim ... =\infty$, also $\rho = \lim \frac{a_n}{a_{n+1}} =1$. Die Reihe konvergiert also für alle $x\in (-1,1)$ und für alle $|x|>1$ tut sie das nicht. Die verbleibenden $x$, also $x=-1$ und $x=1$ untersucht man direkt ohne Kriterien durch Einsetzen.