Limes berechnen

Aufrufe: 386     Aktiv: 31.12.2022 um 18:01

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Hallo zusammen,

Bei der folgende Aufgabe komme ich nicht, weiter. Welche Regel muss ich jetzt anwenden, damit ich auf das Resultat -sin(a) komme?



Vielen Dank!!!
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Welche Regeln kennst du denn?   ─   cauchy 29.12.2022 um 13:51
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Hallo,

du hast schon mal die richtige trigonometrische Identität gefunden, da wenn du \(x= a\) setzt, du \(\sin\frac{2a}{2} = \sin a\) erhältst und \(\sin\frac{x-a}{2} \to sin\frac{a - a}{2} = 0\) sowie \(x - a \to a - a = 0\) wohl bis auf einen konstanten Faktor gleich stark gegen Null streben, werden deren Quotient zu etwas sinnvollem konvergieren.


Bei der Aufgabe geht es nun in ersten Linie, um letzteres. Dafür bietet es sich an, den Sinus als Reihe zu betrachten \(\sin \phi = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \phi^{2k +1}}{ (2k + 1)!} \). Setze für \(\phi = \frac{x - a}{2}\) und teile alles durch \(x - a\) und betrachte davon anschließend den Grenzwert.

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Unnötig kompliziert. Geht auch ganz ohne die Umformung und ohne die Reihe vom Sinus.   ─   cauchy 31.12.2022 um 13:10

Der Hauptaufwand dieser Aufgabe besteht darin, in irgendeiner Abwandlung auszudiskutieren, wieso \(\lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x} = 1\) ist. Darum kommt man nicht herum. Dafür sprechen auch der diversen Herleitung im Internet.
https://www.mathdoubts.com/derivative-of-cos-proof
https://www.mathsisfun.com/calculus/derivatives-trig-proof.html
https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-differentiation-1-new/ab-2-7/a/proving-the-derivatives-of-sinx-and-cosx

Wie willst du das umgehen?
  ─   vale 31.12.2022 um 17:51

Auch das ist nicht nötig. Bei den von dir verlinkten Seiten geht es um die Herleitungen der Ableitungen. Ob es darum in dieser Aufgabe geht, sei mal dahingestellt. Falls nicht, ist die Aufgabe nämlich sehr leicht. Daher die Frage nach den Regeln, die das Fragy kennt. Bevor man also irgendwelche unnötig komplizierten Lösungsvorschläge macht, sollte man da einfach mal die Rückmeldung abwarten. Alles andere ist nicht wirklich zielführend.   ─   cauchy 31.12.2022 um 17:59

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