Relationen Verständnisfrage zur Schreibweise.

Aufrufe: 493     Aktiv: 12.12.2021 um 17:19
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Sei A eine menge und $f: A \rightarrow A$ eine Abbildung. Die Relation auf A ist definiert durch: $x \sim y \iff y = f(x)$. Ich soll zu den Eigenschaften a,b,c der Relation äquivalente Eigenschaften von f aus 1., 2., 3. finden und beweisen.
a) R reflexiv
b) R symmetrisch
c) R transitiv
1) $f \circ f = id_A$
2) $f = id_A$
3) $f \circ f = f$

Also die allgemeinen Definitionen von reflexiv, symmetrisch, transitiv sind klar. Was mir nicht klar ist, was diese Schreibweise "$f=$" bei 1-3) bedeuten. Soll das irgendwie die Abbildungsvorschrift sein? Wir hatten in der VL leider nur so Wort oder konkrete Mengenbsp. Damit kann ich leider nichts anfangen :/
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$f$ ist die Funktion, $f(x)$ ist der Funktionswert an der Stelle $x$, $f(x)=2x+sin(x)$ (als Beispiel) ist die Funktionsvorschrift. Es ist sinnvoll die Begriffe auseinanderzuhalten.
$id_A$ ist die Identitätsfunktion auf $A$, also $f=id_A$ ist äquivalent zu "$f$ hat den Defbereich $A$ und $f(x)=x$ für alle $x\in A$.
Eine Funktion wird üblicherweise angegeben durch Angabe des Defbereichs (siehe Deine Beispiele), Angabe der Funktionsvorschrift und (nicht so zwingend) Angabe des Wertebereichs.
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Danke für deine Antwort, ich hab die einzelnen Beweise jetzt so gemacht:
$R = \{(x,y) | y=f(x), x \in A, y \in A \}$
1)R reflexiv $$\iff \forall x \in A: (x,x) \in R \iff x \sim x \underset ?\iff x =f(x) \iff f = id_A$$

2) R symmetrisch $$\iff \forall x,y \in R: (x,y) \in R \Rightarrow (y,x) \in R \iff \forall (x,y), \in A: x \sim y \Rightarrow y \sim x \underset ? \iff f(x) = y \Rightarrow f(y) = x$$
$$\iff f(x)=y \Rightarrow f(f(x)) = x \iff f(x) = y \Rightarrow f \circ f = id_A$$

3) R transitiv
$$\iff \forall x,y,z \in R: x \sim y \land y \sim z \Rightarrow x \sim z \underset ? \iff f(x)=y \land f(y) =z \Rightarrow f(x)=z$$
$$\iff f(x)=y \land f(y) =z \Rightarrow f(x)=z=f(y)=f(f(x)) \iff f(x)=y \land f(y) =z \Rightarrow f(x)=f(f(x))$$
$$\iff f(x)=y \land f(y) =z \Rightarrow f \circ f = f $$

Kann ich bei "?", einfach sagen, dass das aus der Definition von R folgt und wäre ein Beweis in dieser Form ausreichend?   ─   miguel 11.12.2021 um 20:02
Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen. Die Quantoren habe ich mir noch ergänzt. So rein aus Interesse und fürs Verständnis, wie könnte man denn f z.B. wählen, damit die Relation eine Äquivalenzrelation wäre, also alle diese Eigenschaften gelten?   ─   miguel 12.12.2021 um 13:11
Entschuldige, dass ich da nochmal nachfrage. $f(x)=x$ scheint natürlich als Beispiel für eine Äqivalenzrelation mit $R=\{(x,y)|y=f(x), x \in A, y\in A \}$ recht trivial. Reflexiv steht ja sogar oben, symmetrie wäre $f(x)=y$ und $f(y)=x$, passt auch soweit und $f(x)=y, f(y)=z$ aus der Symmetrie und der Def der Identität folgt aber auch $f(x)=f(y)$, also $f(x)=z$. Wäre das so ausreichend argumentiert?   ─   miguel 12.12.2021 um 16:39
ah, ja habs verstanden, war gerade irgendwie etwas dumm xD. Danke, danke :D   ─   miguel 12.12.2021 um 17:19

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