Falls du den Ausdruck \(x\cdot \sqrt{x^2+1}-x\) meinst, dieser divergiert für \(x\longrightarrow \infty\).

Wenn du aber eventuell den Grenzwert \(\underset{x\longrightarrow \infty}{\lim} \sqrt{x^2+1}-x\) meinen solltest, dieser konvergiert gegen Null. Argumentieren würde ich dies wie folgt:

\(\underset{x\longrightarrow \infty}{\lim} \sqrt{x^2+1}-x =\underset{x\longrightarrow \infty}{\lim} \sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2}\)

Substituiert man \(z=x^2\) ergibt dies

\(\underset{z\longrightarrow \infty}{\lim} \sqrt{z+1}-\sqrt{z}=0\)

Das dem so ist, kannst du recht einfach überlegen. Die 1 in der ersten Wurzel hat bei sehr großen Zahlen kaum noch Einfluss auf Veränderung der Wurzel. Somit gleichen sich beide Wurzelterme mit immer größerem mehr an. Das alles aber ohne Gewähr. Mathematisch untermauern kann ich dir das nur mit dem Beweis für den Folgengrenzwert \(\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \sqrt{n+1}-\sqrt{n}=0\), falls du diesen benötigst?

Ich denke, hier ist \(\lim_{x\to\infty}x(\sqrt{x^2+1}-x)\) gemeint. Hier kommt der übliche Trick der Erweiterung mit \((\sqrt{x^2+1}+x)\) zu einem Bruch zum Zuge. Probiere das mal, und melde Dich, wenn es nicht klappt.