In der Scheitelpunktsform \(f(x)=a(x-x_s)^2+y_s\) kannst du sofort den Scheitelpunkt \((x_s,y_s)\) ablesen. In der Linearfaktorform \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) kannst du sofort die Nullstellen \(x_1,x_2\) ablesen. Die Hauptform \(f(x)=ax^2+bx+c\)  ist die allgemeine Form als Polynom; diese bietet sich besonders zum ableiten an. Andere Formen sind mir persönlich nicht bekannt, wahrscheinlich meinst du mit Haupt- und Normalform dasselbe. Oder meinst du vielleicht mit Normalform eine normierte quadratische Gleichung \(x^2+px+q=0\)?