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Hallo, es gibt eine weitere Aufgabe zu geschlossenen Ausdrücken von Potenzreihen. Diese lautet diesmal: Und dabei habe ich soweit gerechnet: Falls meine Umformung zum Binomialkoeffizienten korrekt ist, kann ich noch die Struktur der Exponentialreihe erkennen. Ich hoffe ich bin nah dran, aber mich verwirren zwei Dinge: 1. Wie gehe ich mit der Doppelsumme um? Ich kann diese nicht einfach verschwinden lassen und die Exponentialfunktion hinschreiben, oder? 2. Wie gehe ich mit den Binomialkoeffizienten um? Auch hier verwirrt mich die Doppelsumme, jedoch weiß ich allgemein nicht was Binomialkoeffizienten in Reihen für Eigenschaften haben. Ich hoffe mir verhilft jemand zur Lösung! P.S.: Falls der Beantwortende der letzten Frage da ist, so habe ich die Fallunterscheidung gemacht: Vielen Dank! Yocaaza
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gefragt

Student, Punkte: 20

 

Das f_4 stimmt, aber nochmal: Man schreibt nicht Funktionswert=unendlich oder so was. Man lässt es weg. Und im 2. Fall nicht so sparsam, korrekte Schreibweise: \(|x|\ge 2, x\neq -2\). Das \(2\neq -2\) sieht sonst komisch aus. Aber wie gesagt...
Und beim nächsten Mal kannst Du das auch an der zugehörigen Frage posten ("Frage bearbeiten").
  ─   mikn 19.07.2021 um 20:40
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1 Antwort
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Deine Umformungen sind schon der halbe Weg (naja, ein Drittel ;-)).
Anleitung für den Rest:
1. Ziehe \(\frac1{k!}\) aus der zweiten Summe raus (ist ja kein j drin).
2. Die innere Summe ist dann: \(\sum_{j=0}^k \binom{k}j x^j\). Schreibe das um mit dem binomischen Lehrsatz \((a+b)^k=\sum_{j=0}^k\binom{k}j a^j\, b^{k-j}\). Damit verschwindet die innere Summe.
3. Mit dem verbliebenen Rest (die äußere Summe) kommst Du dann vermutlich alleine zurecht, oder?
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geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 16.12K

 

Oh, das sah der Exponentialreihe so ähnlich, dass ich mir fast sicher war, dass es das wäre :) den Weg über den binomischen Lehrsatz habe ich nicht direkt gesehen. Jedenfalls erhalte ich wenn ich das \( \frac{1}{k!} \) vor die erste Summe ziehe, \(e\) (Ich habe mir das so gedacht, dass ich mir k als Potenz dazudenke, was an der 1 nichts ändert, und so die 1 der Exponent für das e wird). Zusammen mit \( \frac {1}{x^2} \) erhalte ich \( \frac{e}{x^2}\). Bei der inneren Summe wird nur das x potenziert, in deiner Formel wäre das \(a^j\). Dementsprechend erhalte ich als weiteren Faktor im Ergebnis \(x^k\). Mein Endergebnis ist dann \( \frac{ex^k}{x^2}\). Stimmt das? Tausend Dank für deine Hilfe soweit!   ─   yocaaza 19.07.2021 um 21:38

Nein, so geht das nicht. Man kann nicht die äußere Summe schonmal vorher ausrechnen. Die innere Summe hängt ja von k ab, gehört also zum Summanden der äußeren Summe dazu. Erst Schritt 2, dann Schritt 3. Du hast zuerst Schritt 3 gemacht, das geht aber nicht.   ─   mikn 19.07.2021 um 22:15

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