Erwartete Anzahl markov Kette

Erste Frage Aufrufe: 36     Aktiv: 11.02.2021 um 17:29

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Hallo,

ich möchte die erwartete Anzahl an Schritten bis man zwei 6er hintereinander würfelt mittels einer Markov Kette berechnen.

Als Zustände habe ich gewählt:

a = Im letzten Wurf keine 6

b= Im letzten Wurf eine 6

c = Die letzten zwei Würfe waren eine 6

 

Ich weiß leider gar nicht, wie ich vorgehen soll. Gibt es allgemein eine Formel? Habe diese Formel gefunden, mit A = Anzahl an Würfen

 

 

E(A) = \sum \limitsn=1\infty nP(A=n).




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Bezeichne \(p_{xy}\) die Wahrscheinlichkeit, in einem Schritt von \(x\) nach \(y\) zu kommen, und \(h_{xy}\) den Erwartungswert der Ankunftszeit von \(x\) nach \(y\). Dann gilt $$h_{xy}=1+\sum_{z\neq y}p_{xz}h_{zy}$$ Diese Formel kennst du hoffentlich aus deiner Vorlesung. Damit ergibt sich in unserem Beispiel \begin{align*}h_{ac}&=1+p_{aa}h_{ac}+p_{ab}h_{bc}\Longrightarrow h_{ac}=6+h_{bc},\\h_{bc}&=1+p_{ba}h_{ac}+p_{bb}h_{bc}\ \Longrightarrow h_{bc}=1+\frac56h_{ac}.\end{align*} Das ist nun ein einfaches Gleichungssystem. Kannst du dieses lösen?
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schon mal vielen Dank! ich verstehe noch nicht ganz, wie ich x,y und z bei der Formel richtig einsetze.
Also h startet von z , und p endet mit z... wie komme ich dann bei der zweiten Gleichung h_bc auf den zweiten Summanden?
  ─   mi17 11.02.2021 um 16:44

Zum Beispiel in der zweiten Gleichung setze ich \(x=b\) und \(y=c\). Wenn ich über alle Zustände außer \(y=c\) summiere, muss \(z\) einmal \(a\) und einmal \(b\) sein. Also taucht der Summand \(p_{ba}h_{ac}\) auf (\(z=a\)) und der Summand \(p_{bb}h_{bc}\) (\(z=b\)).   ─   stal 11.02.2021 um 17:29

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