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Die Richtung \(x \in A \Rightarrow \mathrm{dist}(x,A)\) ist trivial und gilt tatsächlich immer, wegen \(d(x,x)=0\) und \(d(x,a)\geq 0\) für alle \(a\in A\).folgt sofort \(\mathrm{dist}(x,A)=0\). Für die andere Richtung brauchst du jetzt aber die Abgeschlossenheit, um die erste Äquivalenz zu begründen.
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mathejean
Student, Punkte: 10.87K
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Ich denke ich verstehe, was ihr meint, hier vielleicht ein anderer Ansatz:
$$dist(x,A) = inf \{d(x,a)|a \in A \} = 0 \Rightarrow \exists a \in A: d(x,a) < r , r>0 \Rightarrow \exists a \in A: a \in B_r(x), r>0$$
Naja und wenn $a \in B_r(x)$, dann ist ja x offentsichlich nicht im Komplement, also: $x \notin A^c \Rightarrow x \in A$
Das Ding ist, ich habe jetzt zur Definition des Infimum auch noch die Definition der offenen Kugel "dazugemogelt", weil ich r ja beliebig klein wählen kann. Darf ich das überhaupt machen?
LG ─ hakn 19.04.2022 um 19:15
$$dist(x,A) = inf \{d(x,a)|a \in A \} = 0 \Rightarrow \exists a \in A: d(x,a) < r , r>0 \Rightarrow \exists a \in A: a \in B_r(x), r>0$$
Naja und wenn $a \in B_r(x)$, dann ist ja x offentsichlich nicht im Komplement, also: $x \notin A^c \Rightarrow x \in A$
Das Ding ist, ich habe jetzt zur Definition des Infimum auch noch die Definition der offenen Kugel "dazugemogelt", weil ich r ja beliebig klein wählen kann. Darf ich das überhaupt machen?
LG ─ hakn 19.04.2022 um 19:15
Für jedes \(r>0\) ist \(0+r\) keine untere Schranke mehr (meinst du das?), also existiert zu \(r>0\) ein \(a\in A\) mit \(0+r>d(x,a)\), aber der Vorschlag von mikn mit Folgen ist gut, probiere das mal aus, sonst ist die Rechnung nicht so schön
─
mathejean
19.04.2022 um 19:35
Jap genau das habe ich damit gemeint. Das mit den Folgen ist sicherlich schöner zu zeigen, haben wir aber im $R^n$ noch nicht eingeführt. Thx für eure Hilfe
─
hakn
20.04.2022 um 14:52
Dennoch eine Nachfrage: Ich zeige ja hier die Rückrichtung von einer Äquivalenz die ich im "$\Rightarrow$"- Beweis verwendet habe, die aber nicht zwangsläufig gefordert wurde (Ging ja in dem Teil nur um die Hinrichtung). Heißt, wenn ich jeweils nur die Hinrichtungen aufschreibe, dann habe ich ja trotzdem nicht die Eigenschaft der Abgeschlossenheit verwendet?
─ hakn 19.04.2022 um 15:09