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In Deinem Beweis ist der Schritt mit $\iff$ unklar (genauer: ohne Erklärung falsch, und er wäre das auch mit $\implies$), weil ja nirgendwo ein $a$ vorkommt. Da muss man eben argumentieren, und da kommt auch die Abgeschlossenheit ins Spiel. Tipp: Beachte: $\inf \neq \min$, das sind verschiedene Begriffe. ─ mikn 19.04.2022 um 16:24
$$dist(x,A) = inf \{d(x,a)|a \in A \} = 0 \Rightarrow \exists a \in A: d(x,a) < r , r>0 \Rightarrow \exists a \in A: a \in B_r(x), r>0$$
Naja und wenn $a \in B_r(x)$, dann ist ja x offentsichlich nicht im Komplement, also: $x \notin A^c \Rightarrow x \in A$
Das Ding ist, ich habe jetzt zur Definition des Infimum auch noch die Definition der offenen Kugel "dazugemogelt", weil ich r ja beliebig klein wählen kann. Darf ich das überhaupt machen?
LG ─ hakn 19.04.2022 um 19:15
Dennoch eine Nachfrage: Ich zeige ja hier die Rückrichtung von einer Äquivalenz die ich im "$\Rightarrow$"- Beweis verwendet habe, die aber nicht zwangsläufig gefordert wurde (Ging ja in dem Teil nur um die Hinrichtung). Heißt, wenn ich jeweils nur die Hinrichtungen aufschreibe, dann habe ich ja trotzdem nicht die Eigenschaft der Abgeschlossenheit verwendet?
─ hakn 19.04.2022 um 15:09