Wie kommt man auf diese Stammfunktiom

Erste Frage Aufrufe: 49     Aktiv: 03.11.2021 um 18:26

0


Hallo,

ich verstehe seit längerem nicht wie diese Stammfunktiom zustande kommt.
Es wäre sehr lieb wenn es mir jemand von euch kleinschritig erklären könnte.

Danke schonmal im voraus


Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 12

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
1
Hallo,

wenn du eine Potenzfunktion 
$$f(x) = a x^r $$
ableitest, dann lassen wir ja den Vorfaktor stehen, ziehen den Exponenten nach unten und ziehen einen ab, also
$$ f'(x) = a \cdot r x^{r-1} $$
Nun wollen wir beim finden einer Stammfunktion ja diesen Prozess umkehren. Wir suchen als eine Funktion, die abgeleitet gerade unsere gegebene Funktion ergibt. 
$$ f(x) = a x^r $$
wir suchen jetzt die Stammfunktion. Beim ableiten würden wir vom Exponenten einen abziehen. Also muss unser neuer Exponent schon mal $r+1$ sein. Nun würden wir beim ableiten diesen Exponenten nach unten ziehen. Dieses "nach unten ziehen" müssen wir jetzt kompensieren. Normalerweise multiplizieren wir mit dem Exponenten, also müssen wir genau das umkehren. Wir dividieren also durch den Exponenten. Damit erhalten wir die Stammfunktion
$$ F(x) = a \cdot \frac 1 {r+1} x^{r+1} $$
Mach gerne mal die Probe, um zu sehen, dass diese Funktion abgeleitet tatsächlich $f(x)$ ergibt

Nun gibt es hier noch eine Besonderheit. Wir haben nicht eine Funktion der Art
$$ f(x) = a x^r $$
sondern wir haben eine Funktion der Art
$$ f(x) = a (bx)^r $$
Wenn wir sowas ableiten, dann müssten wir die Kettenregel nutzen. Wir müssen nun also auch die Multiplikation mit der inneren Ableitung kompensieren. Wir würden beim ableiten noch mit 2 mutliplizieren. Um das zu kompensieren, teilen wir also durch 2.

Verstehst du nun, wie deine Stammfunktion zu Stande kommt?

Grüße Christian
Diese Antwort melden
geantwortet

Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.28K

 

Was mir aber gerade auffällt:
$$ \frac 1 {\frac 32} \cdot \frac 12 = \frac 2 3 \cdot \frac 1 2 = \frac 1 3 $$
  ─   christian_strack 03.11.2021 um 18:26

Kommentar schreiben