Es seien $\mathcal{E_1}$ und $\mathcal{E_2}$ Erzeugendensystme der $\sigma -Algebra ~\mathcal{A}$.

Beweise oder widerlege:

$\sigma\left( \mathcal{E_1}\cap \mathcal{E_2} \right)=\mathcal{A}$ und $\sigma\left( \mathcal{E_1}\cup \mathcal{E_2} \right)=\mathcal{A}$

Für $\sigma\left( \mathcal{E_1}\cap \mathcal{E_2} \right)=\mathcal{A}$ würde ich behaupten, dass stimmt, da ja der beliebge Schnitt von $\sigma -Algebren$ wieder eine $\sigma -Algebra$ ist. An der Mathematischen Noation dieses Arguements werde ich mich gleich auch ransetzen. Nur bräuchte ich bei 

$\sigma\left(\mathcal{E_1}\cup \mathcal{E_2} \right)=\mathcal{A}$ 

noch Hilfe oder zumindest einen Ansatz.
real analysis - Union of two $\sigma$-algebras is not $\sigma$-algebra - Mathematics Stack Exchange
Das könnte vielleicht ein Ansatz sein, dass $\sigma\left( \mathcal{E_1}\cup \mathcal{E_2} \right)=\mathcal{A}$ nicht gilt, aber wie ich das zeigen kann, weiß ich leider nicht
Wie auch im Link ist glaube ich mich mein größtes Problem zu verstehen, wie trozt der Vereiningung, welche zu einer größeren $\sigma -Algebra$ führen sollte. Dies trotzdem nicht funktioniert.
Das unten angefügte triviale Gegenbeispiel ist aber wiederrum klar. Trotzdem bräuchte ich eine Allgemeinere Erklärung, wieso das mit der Vereinigung schief geht. Ich Danke :)