Vereinigung und Schnitte von Erzeugern der $\sigma -Algebra ~\mathcal{A}$

Erste Frage Aufrufe: 153     Aktiv: 25.05.2024 um 13:38

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Es seien $\mathcal{E_1}$ und $\mathcal{E_2}$ Erzeugendensystme der $\sigma -Algebra ~\mathcal{A}$.
Beweise oder widerlege:
$\sigma\left( \mathcal{E_1}\cap \mathcal{E_2} \right)=\mathcal{A}$ und $\sigma\left( \mathcal{E_1}\cup \mathcal{E_2} \right)=\mathcal{A}$

Für $\sigma\left( \mathcal{E_1}\cap \mathcal{E_2} \right)=\mathcal{A}$ würde ich behaupten, dass stimmt, da ja der beliebge Schnitt von $\sigma -Algebren$ wieder eine $\sigma -Algebra$ ist. An der Mathematischen Noation dieses Arguements werde ich mich gleich auch ransetzen. Nur bräuchte ich bei 

$\sigma\left(\mathcal{E_1}\cup \mathcal{E_2} \right)=\mathcal{A}$ 

noch Hilfe oder zumindest einen Ansatz.
real analysis - Union of two $\sigma$-algebras is not $\sigma$-algebra - Mathematics Stack Exchange
Das könnte vielleicht ein Ansatz sein, dass $\sigma\left( \mathcal{E_1}\cup \mathcal{E_2} \right)=\mathcal{A}$ nicht gilt, aber wie ich das zeigen kann, weiß ich leider nicht
Wie auch im Link ist glaube ich mich mein größtes Problem zu verstehen, wie trozt der Vereiningung, welche zu einer größeren $\sigma -Algebra$ führen sollte. Dies trotzdem nicht funktioniert.
Das unten angefügte triviale Gegenbeispiel ist aber wiederrum klar. Trotzdem bräuchte ich eine Allgemeinere Erklärung, wieso das mit der Vereinigung schief geht. Ich Danke :)


 

EDIT vom 24.05.2024 um 21:13:

Vielleicht ein kleiner update. Dieses angeführte Beispiel hat mir die Augen geöffnet, was die Vereinigung von $\sigma -Algebren$ angeht. Warum dies nicht unbedingt gelten muss. Hierbei gilt sogar $\mathcal{A_1}\subset\mathcal{A_2}\subset \mathcal{A_3}\subset \ldots$
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Wir haben 

$$A=\sigma(\mathcal{E}_1) \subset \sigma ( \mathcal{E}_1 \cup \mathcal{E}_2) \subset A, $$
woraus Gleichheit folgt. Die erzeugende Operatorion $\sigma$ braucht als input nur ein Mengensystem, das aber nicht zwangsweise eine Sigma Algebra sein muss.

Die andere Behauptung ist falsch - kannst du vielleicht zwei verschiedene Generatoren der Borel $\sigma$-Algebra nennen? :-)

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Ich danke erstmal für die Antwort:) Zwei erzeuger von $\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)$ sind zum Beispiel:
$\mathcal{E_1}:=\left\{ (-\infty,a]:a\in\mathbb{R} \right\}$
$\mathcal{E_2}:=\left\{ (a,b]:a,b\in\mathbb{R},a\le b \right\}$
Argumentativ habe ich es verstanden und es macht auch schon Sinn, nur bin ich mir nicht sicher ob ich die Letzte Inklusion wirklich verstanden habe :/ ( $~\sigma\left( \mathcal{E_1}\cup \mathcal{E_2} \right)\subset \mathcal{A}~$ ) Wäre für eine kurze wörtliche Erklärung dankbar. Hoffe die Frage ist jetzt nicht zu dumm :)

  ─   max978 24.05.2024 um 20:34

Ich glaube da haben wir doch ein Gegenbeispiel oder nicht. Für meine Erzeuger $\mathcal{E_1},\mathcal{E_2}$ von $\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)$gilt;
$\mathcal{E_1}\cap \mathcal{E_2}=\emptyset $, welches nicht $\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)$ erzeugt. Da $\mathbb{R}\notin \sigma\left( \mathrm{E_1\cap \mathcal{E_2}} \right)$
  ─   max978 24.05.2024 um 21:27

Dein Gegenbeispiel passt. Wie ist denn die Definition von $\sigma$? Guck dir die mal genau an!   ─   crystalmath 25.05.2024 um 10:38

okay, da habe ich wohl zu kompliziert gedacht. Danke für die Hilfe! Habe jetzt alles verstanden :)   ─   max978 25.05.2024 um 12:34

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Ja, ich glaube man hätte das sogar ohne Inklusionskette machen können. Aber gut, freut mich, dass du es verstanden hast!   ─   crystalmath 25.05.2024 um 13:38

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