Kugelvolumen Restkörper berechnen

Aufrufe: 103     Aktiv: 14.12.2022 um 18:54

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Eine Kugel wird zylindrisch durchbohrt.
Der Durchmesser der Kugel ist d = 20 cm.
Der Durchmesser der Bohrung ist a = 5 cm.

Für das gesuchte Volumen gilt ja dann die Formel: V =  V (Kugelschicht) - V (Zylinder der Bohrung)

Es soll der Restkörper (ohne die beiden Kuppen unter- bzw. oberhalb der Bohrung berechnet werden.

Da ja a und d gegeben sind, kann man die Höhe der Bohrung ausrechnen und somit über die Volumenformel auch den entsprechenden Inhalt.

Meine Frage:
Warum kann man in diesem Fall für die jeweiligen Restkörper (rechts und links der Bohrung) nicht die Volumen-Kugelabschnittsformel anwenden?
(Also V = pi*h/6 (3*R^2 + h^2)

Das müsste doch eigentlich auch gehen.. Aber dann kommen andere Werte heraus..

  • Viele Grüße
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Das liegt daran, dass die jeweiligen Restkörper keine Kugelabschnitte sind. Kugelabschnitte gehen ja bis zum Mittelpunkt der Kugel. Das kann bei den Restkörpern aber gar nicht der Fall sein, weil ja durchbohrt wird.
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Selbstständig, Punkte: 26.64K

 

Ok, aber die o.g. Formel wird ja gem. Formelsammlung auch genutzt, um z.B. das Volumen von Kugelkappen bzw. Kugelsegmenten zu berechnen. Diese reichen ja auch nicht bis zum Mittelpunkt der Kugel?   ─   jgu 14.12.2022 um 03:10

Stimmt, habe ich auch gerade gesehen. Dann ist natürlich die Frage, was die Größen $R$ und $h$ sind. Möglicherweise hast du da falsche Werte genommen.   ─   cauchy 14.12.2022 um 03:44

Zunächst habe ich die Höhe der Bohrung berechnet. Der Durchmesser der Kugel ist ja d = 20 cm, der Durchmesser der Bohrung a = 5 cm. Für die Höhe gilt ja dann: h^2 = d^2 - a^2.
Das entspricht einer Höhe von ca. 19,365 cm.
H/2 wäre ja dann der Radius der "neuen Kugel" / des Restkörpers, d.h. (H/2)^3*pi*4/3 (in die Volumenformel der Kugel eingesetzt) wäre die Formel für den Restkörper. Das Ergebnis ist dann 3802,293 cm^3, das ist lt. Musterlösung auch korrekt.

Für die Kugelkappenformel habe ich folgende Werte zu Grunde gelegt:
R = H/2, also 19,365/2
H = 7,5 (d-a)/2 also (20-5)/2 V = pi*H/6 (3R^2+H^2)

Das Ergebnis müsste man dann ja noch *2 nehmen, da man mit dieser Formel ja immer nur eine Seite der "neuen Kugel" berechnet.
Aber dann hätte ich ein Gesamtvolumen pro Seite von 1325,359 cm^3 (das Doppelte davon wären dann 2650,719 cm^3)...?
  ─   jgu 14.12.2022 um 05:33

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So, nachdem ich mir das nochmal kurz angeschaut habe, ist klar, dass das Volumen zu gering ist. Bei den Kugelkappen betrachtest du ja nur die Seiten "links" und "rechts" des Zylinders. Du musst ja aber einmal komplett um den Zylinder rum, weshalb dir natürlich etwas fehlt. Daher kommst du mit dieser Formel auch nicht zum Ergebnis.   ─   cauchy 14.12.2022 um 12:22

ja stimmt, daran liegt es. Vielen Dank!   ─   jgu 14.12.2022 um 18:54

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