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Zunächst mal zur Frage mit dem \( t \):
Ausdrücke wie \( B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) ) \) können wir als Abbildung \( \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) auffassen, indem wir \( B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) )(t) = B( \gamma(t), \gamma(t) ) \) definieren.
Ausdrücke wie \( B( \gamma(t+h), \gamma(t+h) )(t) \) so wie sie in deinem Aufschrieb zu finden sind, ergeben daher keinen Sinn. \( B( \gamma(t+h), \gamma(t+h) ) \) ist ja bereits eine reelle Zahl und die kann man schlecht an einer Stelle \( t \) auswerten.
Auch deine Frage ergibt so natürlich keinen Sinn. Man kann nicht \( B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) )^\prime(t) = B( \gamma^\prime( \cdot ), \gamma( \cdot ) ) + B( \gamma( \cdot ), \gamma^\prime( \cdot ) ) \) zeigen, denn \( B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) )^\prime(t) \) ist eine reelle Zahl und \( B( \gamma^\prime( \cdot ), \gamma( \cdot ) ) + B( \gamma( \cdot ), \gamma^\prime( \cdot ) ) \) ist eine Summe von Abbildungen. Man muss also \( B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) )^\prime = B( \gamma^\prime( \cdot ), \gamma( \cdot ) ) + B( \gamma( \cdot ), \gamma^\prime( \cdot ) ) \) schreiben (als Gleichheit von Abbildungen) oder man schreibt es so wie in deinem Aufschrieb \( B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) )^\prime(t) = B( \gamma^\prime(t), \gamma(t) ) + B( \gamma(t), \gamma^\prime(t) ) \) (als Gleichheit von reellen Zahlen).
Nun zum Beweis:
Dein Beweis ist von der Idee her richtig, allerdings hat sich ein Fehler eingeschlichen (zusätzlich zu den rot markierten \(t\)). In der letzten Zeile des mittleren Teils ziehst du die Limiten auseinander und dann steht da \( \lim_{h \to 0} \frac{B(\gamma(t), \gamma(t))}{h} \). Das darfst du natürlich nicht machen, denn dieser Limes existiert überhaupt nicht. Und damit wird der Beweis auch leider schon falsch.
Wenn man geschickter umformt, dann lässt sich dieser Fehler aber vermeiden. Man kann einfach schreiben:
\( B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) )^\prime(t) \) \( = \lim_{h \to 0} \frac{ B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) )(t+h) - B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) )(t) }{h} \) \( = \lim_{h \to 0} \frac{ B( \gamma(t+h), \gamma(t+h) ) - B( \gamma(t), \gamma(t) ) }{h} \) \( = \lim_{h \to 0} \frac{ B( \gamma(t+h) - \gamma(t), \gamma(t+h) ) + B( \gamma(t), \gamma(t+h) - \gamma(t) ) }{h} \) \( = \lim_{h \to 0} B \left( \frac{ \gamma(t+h) - \gamma(t)}{h}, \gamma(t+h) \right) + B \left(\gamma(t), \frac{\gamma(t+h) - \gamma(t)}{h} \right) \) \( = B( \gamma^\prime(t), \gamma(t) ) + B( \gamma(t), \gamma^\prime(t) ) \)
(Bei den ersten beiden Gleichheitszeichen wurden nur Definitionen benutzt, beim dritten und vierten Gleichheitszeichen wurde die Bilinearität von \(B\) verwendet und im letzten Schritt die Stetigkeit von \( B \) und die Differenzierbarkeit (und Stetigkeit) von \( \gamma \))
Ausdrücke wie \( B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) ) \) können wir als Abbildung \( \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) auffassen, indem wir \( B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) )(t) = B( \gamma(t), \gamma(t) ) \) definieren.
Ausdrücke wie \( B( \gamma(t+h), \gamma(t+h) )(t) \) so wie sie in deinem Aufschrieb zu finden sind, ergeben daher keinen Sinn. \( B( \gamma(t+h), \gamma(t+h) ) \) ist ja bereits eine reelle Zahl und die kann man schlecht an einer Stelle \( t \) auswerten.
Auch deine Frage ergibt so natürlich keinen Sinn. Man kann nicht \( B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) )^\prime(t) = B( \gamma^\prime( \cdot ), \gamma( \cdot ) ) + B( \gamma( \cdot ), \gamma^\prime( \cdot ) ) \) zeigen, denn \( B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) )^\prime(t) \) ist eine reelle Zahl und \( B( \gamma^\prime( \cdot ), \gamma( \cdot ) ) + B( \gamma( \cdot ), \gamma^\prime( \cdot ) ) \) ist eine Summe von Abbildungen. Man muss also \( B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) )^\prime = B( \gamma^\prime( \cdot ), \gamma( \cdot ) ) + B( \gamma( \cdot ), \gamma^\prime( \cdot ) ) \) schreiben (als Gleichheit von Abbildungen) oder man schreibt es so wie in deinem Aufschrieb \( B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) )^\prime(t) = B( \gamma^\prime(t), \gamma(t) ) + B( \gamma(t), \gamma^\prime(t) ) \) (als Gleichheit von reellen Zahlen).
Nun zum Beweis:
Dein Beweis ist von der Idee her richtig, allerdings hat sich ein Fehler eingeschlichen (zusätzlich zu den rot markierten \(t\)). In der letzten Zeile des mittleren Teils ziehst du die Limiten auseinander und dann steht da \( \lim_{h \to 0} \frac{B(\gamma(t), \gamma(t))}{h} \). Das darfst du natürlich nicht machen, denn dieser Limes existiert überhaupt nicht. Und damit wird der Beweis auch leider schon falsch.
Wenn man geschickter umformt, dann lässt sich dieser Fehler aber vermeiden. Man kann einfach schreiben:
\( B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) )^\prime(t) \) \( = \lim_{h \to 0} \frac{ B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) )(t+h) - B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) )(t) }{h} \) \( = \lim_{h \to 0} \frac{ B( \gamma(t+h), \gamma(t+h) ) - B( \gamma(t), \gamma(t) ) }{h} \) \( = \lim_{h \to 0} \frac{ B( \gamma(t+h) - \gamma(t), \gamma(t+h) ) + B( \gamma(t), \gamma(t+h) - \gamma(t) ) }{h} \) \( = \lim_{h \to 0} B \left( \frac{ \gamma(t+h) - \gamma(t)}{h}, \gamma(t+h) \right) + B \left(\gamma(t), \frac{\gamma(t+h) - \gamma(t)}{h} \right) \) \( = B( \gamma^\prime(t), \gamma(t) ) + B( \gamma(t), \gamma^\prime(t) ) \)
(Bei den ersten beiden Gleichheitszeichen wurden nur Definitionen benutzt, beim dritten und vierten Gleichheitszeichen wurde die Bilinearität von \(B\) verwendet und im letzten Schritt die Stetigkeit von \( B \) und die Differenzierbarkeit (und Stetigkeit) von \( \gamma \))
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hallo, okei könntest du mir kurz erklären wieso dieser Limes gar nicht existiert, irgendwie verstehe ich das noch nicht richtig, denn die Umformungen im mittleren Teil sollten doch korrekt sein?
─
karate
16.03.2021 um 07:17
Oh ja, das mit den Limes habe ich wirklich vergessen... sorry.
Jein, also wir wissen nur dass \(\gamma\) diff'bar ist. Können wir dann nicht daraus folgern, da ja beide Einträge von B diff'bar sind, dass dann B selbst auch diff'bar ist, also mit dem Satz über die Differenzierbarkeit in jeder Komponente. ─ karate 16.03.2021 um 15:05
Jein, also wir wissen nur dass \(\gamma\) diff'bar ist. Können wir dann nicht daraus folgern, da ja beide Einträge von B diff'bar sind, dass dann B selbst auch diff'bar ist, also mit dem Satz über die Differenzierbarkeit in jeder Komponente. ─ karate 16.03.2021 um 15:05
Dass \( \gamma \) differenzierbar ist, sagt erstmal nichts über die Differenzierbarkeit von \( B \) aus. Eigentlich sagt das auch nichts über die Differenzierbarkeit von \( B( \gamma( \cdot), \gamma(\cdot) ) \) aus. Aber man muss auch nicht zuerst zeigen, dass \( B( \gamma( \cdot), \gamma(\cdot) ) \) differenzierbar ist. Die Differenzierbarkeit folgt a posteriori, d.h. man kann die Gleichungskette von rechts nach links lesen und sieht dadurch, dass die Limiten alle existieren und die Gleichheit gilt. Grundsätzlich hat mikn aber recht: Wenn man sich nicht komplett sicher ist, dann sollte man erstmal ohne Limiten arbeiten und erst am Ende vom Differenzenquotient zum Differentialquotient übergehen.
─
42
16.03.2021 um 15:23
Wieso sagt die Differenzierbarkeit von \(\gamma\) nichts über die Differenzierbarkeit von B aus, es gibt doch den Satz der besagt, dass wenn alle Komponentenfunktionen differenzierbar sind, dann ist es auch B bzw ist \(f_1,f_2\) diff'bar so ist \(f=(f_1,f_2)\) auch diff'bar. Wieso darf ich das hier nicht anwenden?
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karate
16.03.2021 um 16:07
okei ja diesen Satz habe ich gerade gestern bewiesen. Ja ich sehe deinen Punkt und bin dir auch wirklich dankbar wenn du mich stets ermahnst nicht mit dem limes anzufangen aber da unser Prof das immer so macht (da er wahrscheinlich sowieso immer weiss dass es konvergiert) also sehen wir das halt nur so, und das ist ein wenig verlockend aber ich muss mir das wirklich angewöhnen.
─
karate
16.03.2021 um 20:02
Ja nein ich verstehe deine Argumentation total, vorallem ist es wirklich Mühsam das jedes mal zu notieren darum herzlichen Dank wenn du so geduldig bist und entschuldige mich wenn ich immer wieder reinfalle, versuche mir das wirklich anzugewöhnen.
─
karate
16.03.2021 um 20:18
