Wie Beweise ich die Produktregel?

Aufrufe: 194     Aktiv: 17.03.2021 um 09:29

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Hallo Zusammen

Ich hätte eine Frage zu folgender Aufgabe:

Sei \(B: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) eine bilineare Abbildung und sei \(\gamma: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^n\) eine differenzierbare Funktion, beweisen Sie die Produktregel
\(B(\gamma (\cdot),\gamma (\cdot))'(t)=B(\stackrel{\cdot}{\gamma}(\cdot),\gamma(\cdot))+B(\gamma(\cdot),\stackrel{\cdot}{\gamma}(\cdot))\)
Wir dürfen verwenden, dass jede Bilinearform auf \(\mathbb{R}^n\) stetig ist.

Ich habe es so versucht, jedoch bin ich mir nicht ganz sicher, denn unser Übungsleiter hat mir gesagt, es müsse zu Beginn noch das rot markierte (t) hinten rangehängt werden, nun weiss ich aber nicht ob und wann das verschwindet, irgendwie denke ich bin ich schon in der richtigen Richtung nur fehlt mir noch was.



Ps: Der mittlere Teil, den ich eckig eingerahmt habe war nur eine Umformung von mir, damit ich den zweiten Term geschickt umschreiben kann.

Könnte mir jemand helfen?

Vielen Dank.
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Zunächst mal zur Frage mit dem \( t \):
Ausdrücke wie \( B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) ) \) können wir als Abbildung \( \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) auffassen, indem wir \( B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) )(t) = B( \gamma(t), \gamma(t) ) \) definieren.
Ausdrücke wie \( B( \gamma(t+h), \gamma(t+h) )(t) \) so wie sie in deinem Aufschrieb zu finden sind, ergeben daher keinen Sinn. \( B( \gamma(t+h), \gamma(t+h) ) \) ist ja bereits eine reelle Zahl und die kann man schlecht an einer Stelle \( t \) auswerten.
Auch deine Frage ergibt so natürlich keinen Sinn. Man kann nicht \( B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) )^\prime(t) = B( \gamma^\prime( \cdot ), \gamma( \cdot ) ) + B( \gamma( \cdot ), \gamma^\prime( \cdot ) ) \) zeigen, denn \( B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) )^\prime(t) \) ist eine reelle Zahl und \( B( \gamma^\prime( \cdot ), \gamma( \cdot ) ) + B( \gamma( \cdot ), \gamma^\prime( \cdot ) ) \) ist eine Summe von Abbildungen. Man muss also \( B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) )^\prime = B( \gamma^\prime( \cdot ), \gamma( \cdot ) ) + B( \gamma( \cdot ), \gamma^\prime( \cdot ) ) \) schreiben (als Gleichheit von Abbildungen) oder man schreibt es so wie in deinem Aufschrieb \( B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) )^\prime(t) = B( \gamma^\prime(t), \gamma(t) ) + B( \gamma(t), \gamma^\prime(t) ) \) (als Gleichheit von reellen Zahlen).

Nun zum Beweis:
Dein Beweis ist von der Idee her richtig, allerdings hat sich ein Fehler eingeschlichen (zusätzlich zu den rot markierten \(t\)). In der letzten Zeile des mittleren Teils ziehst du die Limiten auseinander und dann steht da \( \lim_{h \to 0} \frac{B(\gamma(t), \gamma(t))}{h} \). Das darfst du natürlich nicht machen, denn dieser Limes existiert überhaupt nicht. Und damit wird der Beweis auch leider schon falsch.
Wenn man geschickter umformt, dann lässt sich dieser Fehler aber vermeiden. Man kann einfach schreiben:
\( B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) )^\prime(t) \) \( = \lim_{h \to 0} \frac{ B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) )(t+h) - B( \gamma( \cdot ), \gamma( \cdot ) )(t) }{h} \) \( = \lim_{h \to 0} \frac{ B( \gamma(t+h), \gamma(t+h) ) - B( \gamma(t), \gamma(t) ) }{h} \) \( = \lim_{h \to 0} \frac{ B( \gamma(t+h) - \gamma(t), \gamma(t+h) ) + B( \gamma(t), \gamma(t+h) - \gamma(t) ) }{h} \) \( = \lim_{h \to 0} B \left( \frac{ \gamma(t+h) - \gamma(t)}{h}, \gamma(t+h) \right) + B \left(\gamma(t), \frac{\gamma(t+h) - \gamma(t)}{h} \right) \) \( = B( \gamma^\prime(t), \gamma(t) ) + B( \gamma(t), \gamma^\prime(t) ) \)
(Bei den ersten beiden Gleichheitszeichen wurden nur Definitionen benutzt, beim dritten und vierten Gleichheitszeichen wurde die Bilinearität von \(B\) verwendet und im letzten Schritt die Stetigkeit von \( B \) und die Differenzierbarkeit (und Stetigkeit) von \( \gamma \))
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hallo, okei könntest du mir kurz erklären wieso dieser Limes gar nicht existiert, irgendwie verstehe ich das noch nicht richtig, denn die Umformungen im mittleren Teil sollten doch korrekt sein?   ─   karate 16.03.2021 um 07:17

Ist denn klar, dass \(B(\gamma (\cdot),\gamma (\cdot))\) diffbar ist? Normalerweise lauten die Aufgaben ja "Zeigen Sie, ... ist diffbar und [Regel] gilt."
Man darf nie \(\lim\) schreiben, wenn die Konvergenz nicht klar ist. Abgesehen davon, dass es logisch keinen Sinn macht, verleitet es dazu (wie Dein Beispiel zeigt), mit (weiteren) Grenzwerten zu rechnen, die vielleicht nicht existieren.
Der sichere und saubere Weg ist daher: Diffquotient ansetzen (OHNE LIMES!!!), umformen wie von anonym angegeben, dann am Ende(!!) schauen(!!), ob(!!) und wogegen das konvergiert, formal dann so \(\ldots= \underbrace{\ldots}_{\to \ldots} + \underbrace{\ldots}_{\to \ldots} \to \ldots\). Ist im übrigen auch weniger Schreibarbeit.
  ─   mikn 16.03.2021 um 11:22

Oh ja, das mit den Limes habe ich wirklich vergessen... sorry.
Jein, also wir wissen nur dass \(\gamma\) diff'bar ist. Können wir dann nicht daraus folgern, da ja beide Einträge von B diff'bar sind, dass dann B selbst auch diff'bar ist, also mit dem Satz über die Differenzierbarkeit in jeder Komponente.
  ─   karate 16.03.2021 um 15:05

Dass \( \gamma \) differenzierbar ist, sagt erstmal nichts über die Differenzierbarkeit von \( B \) aus. Eigentlich sagt das auch nichts über die Differenzierbarkeit von \( B( \gamma( \cdot), \gamma(\cdot) ) \) aus. Aber man muss auch nicht zuerst zeigen, dass \( B( \gamma( \cdot), \gamma(\cdot) ) \) differenzierbar ist. Die Differenzierbarkeit folgt a posteriori, d.h. man kann die Gleichungskette von rechts nach links lesen und sieht dadurch, dass die Limiten alle existieren und die Gleichheit gilt. Grundsätzlich hat mikn aber recht: Wenn man sich nicht komplett sicher ist, dann sollte man erstmal ohne Limiten arbeiten und erst am Ende vom Differenzenquotient zum Differentialquotient übergehen.   ─   anonym 16.03.2021 um 15:23

Wieso sagt die Differenzierbarkeit von \(\gamma\) nichts über die Differenzierbarkeit von B aus, es gibt doch den Satz der besagt, dass wenn alle Komponentenfunktionen differenzierbar sind, dann ist es auch B bzw ist \(f_1,f_2\) diff'bar so ist \(f=(f_1,f_2)\) auch diff'bar. Wieso darf ich das hier nicht anwenden?   ─   karate 16.03.2021 um 16:07

Wenn der Satz so in der Vorlesung war, dann garantiert das die Diffbarkeit hier. Ist aber auch nicht nötig, denn die obige Herleitung liefert ja Diffbarkeit UND gleichzeitig die Regel. Das ist meist so bei Beweisen über den Differenzenquotienten. Hier braucht man also den Satz der Vorlesung nicht (aber dann darf man auch nicht \(\lim\) loslegen). Wenn man den Satz hat, kann man auch gleich mit \(\lim\) rechnen - aber dann sollte diese Grundlage für das \(\lim\)-Rechnen auch erwähnt werden im Beweis.
  ─   mikn 16.03.2021 um 19:19

okei ja diesen Satz habe ich gerade gestern bewiesen. Ja ich sehe deinen Punkt und bin dir auch wirklich dankbar wenn du mich stets ermahnst nicht mit dem limes anzufangen aber da unser Prof das immer so macht (da er wahrscheinlich sowieso immer weiss dass es konvergiert) also sehen wir das halt nur so, und das ist ein wenig verlockend aber ich muss mir das wirklich angewöhnen.   ─   karate 16.03.2021 um 20:02

Ja, verstehe ich. Kannst den Prof ja mal fragen, warum er das so macht. Ich bin da jedenfalls math. anders erzogen worden (und dankbar dafür).   ─   mikn 16.03.2021 um 20:14

Ja nein ich verstehe deine Argumentation total, vorallem ist es wirklich Mühsam das jedes mal zu notieren darum herzlichen Dank wenn du so geduldig bist und entschuldige mich wenn ich immer wieder reinfalle, versuche mir das wirklich anzugewöhnen.   ─   karate 16.03.2021 um 20:18

Alles gut, kein Problem.   ─   mikn 16.03.2021 um 20:20

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Vielleicht wirfst Du einmal einen Blick in mein Video. Dort habe ich eine mögliche herleitung der Produktregel erklärt.
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Vielen Dank für die Hilfe, habe jetzt mal eine Lösung versuche mal zuerst alle Fragen zu stellen und hoffen dass ich es verstehe.   ─   karate 16.03.2021 um 16:13

oh das ist nett vielen Dank.ja also ich hätte da eine Frage die ich einfach an den Schluss der letzten Antwort gestellt habe, hättest du da auch eine Antwort?   ─   karate 16.03.2021 um 17:34

ah okei, ja kein Problem aber darf ich bei bilinearformen schon auch das Kriterium verwenden dass wenn die Komponentenfunktion stetig oder differenzierbar ist, dass dann die ganze funktion das auch ist? oder giltet das bei bilinearformen nicht   ─   karate 16.03.2021 um 17:46

Das ist eine Funktion \(B:V \times V\rightarrow K\) wobei V ein Vektorraum über dem Körper K ist, dabei gilt dass \(B(\lambda*x+\mu*y,z)=\lambda B(x,z)+ \mu B(y,z), \lambda,\mu \in K, x,y,z \in V\) Das gleiche gilt für die zweite Komponente   ─   karate 16.03.2021 um 18:05

Du sagst ja selbst, dass \( B \) eine Abbildung in den Grundkörper \( K \) ist, im konkreten Fall deiner Frage nach \( \mathbb{R} \). Was sollen da denn dann die Komponentenfunktionen sein?
Wenn du eine Abbildung \( f:D \to \mathbb{R}^n \) hast, dann kannst du sie mithilfe ihrer Komponenten als \( f=(f_1,\dots,f_n) \) schreiben, wobei die Komponenten dann Funktionen \( f_i: D \to \mathbb{R} \) sind. Für den Fall, wenn \( f \) nach \( \mathbb{R} \) geht, erhält man also nur eine einzige Komponente und zwar \( f \) selbst. Der Satz über die Differenzierbarkeit der Komponentenfunktionen bringt einen also im Falle von Funktionen nach \( \mathbb{R} \) nicht weiter.
Wo einem dieser Satz tatsächlich hilft, ist bei der Differenzierbarkeit von \( \phi(t) = ( \gamma(t), \gamma(t)) \). Aber das sagt dann erstmal noch nichts über die Differenzierbarkeit der Verkettung \( B( \gamma(\cdot), \gamma(\cdot)) = B \circ \phi \) aus.
  ─   anonym 17.03.2021 um 09:29

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Professorrs wurde bereits informiert.