Unter der Voraussetzung, dass Ihr \(d_{X\times Y}\bigl((x_1,y_2),(x_2,y_2)\bigr)=d_X(x_1,x_2)+d_Y(y_1,y_2)\) definiert habt:
Überlege Dir, dass für \((x,y)\in X\times Y\) und \(\varepsilon>0\) gilt: \[B_\varepsilon^{X\times Y}(x,y)\subseteq B_\varepsilon^X(x)\times B_\varepsilon^Y(y)\subseteq B_{2\varepsilon}^{X\times Y}(x,y)\] (das sollen hier offene Kugeln sein). Damit sollte a) kein Problem sein, wenn Du "\(=\)" wie üblich in "\(\subseteq\)" und "\(\supseteq\)" aufteilst.

In der b) würde ich mit Folgen argumentieren. Dazu musst Du zeigen, dass \((x_n,y_n)\) genau dann konvegiert, wenn \((x_n)\) und \((y_n)\) konvergieren.

Hilft das?