Unter der Voraussetzung, dass Ihr $d_{X\times Y}\bigl((x_1,y_2),(x_2,y_2)\bigr)=d_X(x_1,x_2)+d_Y(y_1,y_2)$ definiert habt:
Überlege Dir, dass für $(x,y)\in X\times Y$ und $\varepsilon>0$ gilt: $$B_\varepsilon^{X\times Y}(x,y)\subseteq B_\varepsilon^X(x)\times B_\varepsilon^Y(y)\subseteq B_{2\varepsilon}^{X\times Y}(x,y)$$ (das sollen hier offene Kugeln sein). Damit sollte a) kein Problem sein, wenn Du "$=$" wie üblich in "$\subseteq$" und "$\supseteq$" aufteilst.

In der b) würde ich mit Folgen argumentieren. Dazu musst Du zeigen, dass $(x_n,y_n)$ genau dann konvegiert, wenn $(x_n)$ und $(y_n)$ konvergieren.

Hilft das?