Genau genommen ist das hier tatsächlich ungenau formuliert. Es fehlt ein Zusatz wie z. B. für m ->  + unendlich. 

Ich würde hier davon ausgehen, dass es sich um m gegen unendlich handelt. Und dann bedeutet es, dass sich die Summe für Größe m (also m gegen unendlich) abschätzen lässt mit der rechten Seite plus ein Term in der Größenordnung m^(p-3). 

Man kann das auch formal ausdrücken mit der Definition der Landau-Symbole ausdrücken, wenn dir diese nicht bekannt sind, schaue sie dir nochmal an. Allgemein ist es wichtig ein grobes Gefühl davon zu haben und O bedeutet immer so viel wie gleiche Größenordnung.

Das Landau-Symbol bedeutet immer das gleiche:
Ich vermute in diesem Fall (ich sage "vermute", da Du den Zusammenhang nicht mitlieferst, der aber wichtig ist):
\(f(m)=O(m^k)\iff\) Es gibt ein \(C>0\) mit \(f(m)\le m^k\) falls \(m\) groß genug.
Der Term fasst dabei vermutlich(s.o.) die Summanden mit kleinerem Exponenten p zusammen.
Das hängt alles davon ab, ob große p oder große m oder kleine m oder kleine p interessant sind.
Bitte immer den Zusammenhang mitliefern.