Bei den Konstanten musst du irgendwas durcheinander gebracht haben. Aus \(y'(0)=0\) folgt \(C_3=0\), nicht irgendeine Gleichung für \(C_2\), aus \(y''(4)=0\) folgt \(\frac{64}{60}+4C_1+C_2=0\), nicht \(C_2=0\) etc. Ich weiß nicht, wie du auf deine Gleichungen kommst, aber die stimmen nicht.

Irgendwo hast Du Dich verrechnet. Wo genau, weiß ich nicht, da Deine Rechenschritte nicht dabei stehen.
Am einfachsten geht man so vor:
y(0)=0, also C4=0
y'(0)=0, also C3=0 (wieso sollte daraus ein Zusammenhang zwischen C1 und C2 folgen?)
y(4)=0, prüf nach, die 91 stimmt wohl nicht.
y''(4)=0, aus diesem und dem vorigen lässt sich C1, C2 bestimmen. Wie Du auf C1=0 kommst, weiß ich nicht, hast Du auch bei Deiner Lösung gar nicht stehen (da ist C1 nicht 0).
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