Wieviele Möglichkeiten gibt es?-

Erste Frage Aufrufe: 266     Aktiv: 12.09.2023 um 12:08

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Ich habe 6 Kreise. Ein (jeder) Kreis kann sich mit einem, zwei...oder 5 Kreisen überschneiden. Wieviel Möglichkeiten gibt es? Überschneidungen zählen nur einmal.

Bei nur 2 sich überschneidenden Kreisen bekomme ich das (glaube ich) noch selber hin:

6x keine Überschneidung der Kreise

15 Überschneidungen (1+2,1+3,1+4,1+5,1+6, 2+3, 2+4, 2+5, 2+6, 3+4,3+5,3+6, 4+5,4+6,5+6)

=21 Überschneidungen

Jetzt mit 3-4-5-6 überschneidenden Kreisen..keine Idee, wie ich das berechnen soll.

 

Ich danke schon jetzt einem Genie der Kombinatorik...

 

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Hallo, deine Frage ist ja schon ein paar Tage alt, aber vielleicht nützt dir mein Tipp trotzdem noch etwas.

Zunächst interpretiere ich die Zählweise aufgrund deines Beispiels so, dass NICHT unterschieden wird z.B. zwischen der Situation
Kreis $k_1$ schneidet $k_2$ und (gleichzeitig) schneidet $k_4$ den Kreis $k_6$
und der Situation
Kreis $k_1$ schneidet $k_3$ und (gleichzeitig) schneidet $k_4$ den Kreis $k_5$ und (gleichzeitig) schneidet $k_2$ den Kreis $k_6$.
Das wäre dann eine deutlich andere Zählerei...

Im Grunde hast du (fast) richtig begonnen:
Keiner der 6 Kreise schneidet irgend einen anderen: Eine Möglichkeit.  (Da unterscheiden wir uns ein wenig!)

Je 2 Kreise schneiden sich (wir notieren in Kurzform):
$(k_1\to k_2.. k_6)$,  $(k_2\to k_3.. k_6)$, $(k_3\to k_4.. k_6)$, $(k_4\to k_5.. k_6)$, $(k_5\to k_6)$.
Das sind $6+5+4+3+2+1 = 15$ Möglichkeiten. (Da sind wir uns einig!)

Wir setzen fort mit den Fällen je 3 Kreise schneiden sich. Mit der obigen Kurzform notieren wir
$(k_1,k_2\to k_3.. k_6)$,  $(k_1,k_3\to k_4.. k_6)$, $(k_1,k_4\to k_5.. k_6)$, $(k_1,k_5\to k_6) \;\;\rightarrow \;\;4+3+2+1= 10$ Fälle
$(k_2,k_3\to k_4.. k_6)$, $(k_2,k_4\to k_5.. k_6)$, $(k_2,k_5\to k_6) \;\;\rightarrow \;\;3+2+1= 6$ Fälle,
$(k_3,k_4\to k_5.. k_6)$, $(k_3,k_4\to k_6) \;\;\rightarrow \;\;2+1= 3$ Fälle,
$(k_4,k_5\to k_6) \;\;\rightarrow \;\;1$ Fall .
Insgesamt zählen wir hier also $10+6+3+1 = 20$ Möglichkeiten.

Ich denke, die restlichen Fälle werden dir jetzt keine Kopfschmerzen mehr bereiten.

P.S.: Falls du Lust hast, kannst du ja noch über den Zusammenhang der Zähl-Ergebnisse mit den Binomialkoeffizienten $\binom{n}{k}$ nachdenken...
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Vielen lieben Dank- deine Frage der Unterscheidung, wenn also alle, gleichzeitig möglichen Konstellationen erfasst werden sollen ist sehr interessant, da sie mein Anliegen korrekt beschreibt= wieviele UND Konstellationen ergeben sich aus 6 Kreisen=Zuständen, die sich alle miteinander kombinieren lassen. Meine Annahme-nahezu astronomisch viele Möglichkeiten- gibt es dazu eine Formel? Viele liebe Grüße   ─   user7a9802 12.09.2023 um 12:08

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