Hallo, deine Frage ist ja schon ein paar Tage alt, aber vielleicht nützt dir mein Tipp trotzdem noch etwas.

Zunächst interpretiere ich die Zählweise aufgrund deines Beispiels so, dass NICHT unterschieden wird z.B. zwischen der Situation
Kreis $k_1$ schneidet $k_2$ und (gleichzeitig) schneidet $k_4$ den Kreis $k_6$
und der Situation
Kreis $k_1$ schneidet $k_3$ und (gleichzeitig) schneidet $k_4$ den Kreis $k_5$ und (gleichzeitig) schneidet $k_2$ den Kreis $k_6$.
Das wäre dann eine deutlich andere Zählerei...

Im Grunde hast du (fast) richtig begonnen:
Keiner der 6 Kreise schneidet irgend einen anderen: Eine Möglichkeit.  (Da unterscheiden wir uns ein wenig!)

Je 2 Kreise schneiden sich (wir notieren in Kurzform):
$(k_1\to k_2.. k_6)$,  $(k_2\to k_3.. k_6)$, $(k_3\to k_4.. k_6)$, $(k_4\to k_5.. k_6)$, $(k_5\to k_6)$.
Das sind $6+5+4+3+2+1 = 15$ Möglichkeiten. (Da sind wir uns einig!)

Wir setzen fort mit den Fällen je 3 Kreise schneiden sich. Mit der obigen Kurzform notieren wir
$(k_1,k_2\to k_3.. k_6)$,  $(k_1,k_3\to k_4.. k_6)$, $(k_1,k_4\to k_5.. k_6)$, $(k_1,k_5\to k_6) \;\;\rightarrow \;\;4+3+2+1= 10$ Fälle
$(k_2,k_3\to k_4.. k_6)$, $(k_2,k_4\to k_5.. k_6)$, $(k_2,k_5\to k_6) \;\;\rightarrow \;\;3+2+1= 6$ Fälle,
$(k_3,k_4\to k_5.. k_6)$, $(k_3,k_4\to k_6) \;\;\rightarrow \;\;2+1= 3$ Fälle,
$(k_4,k_5\to k_6) \;\;\rightarrow \;\;1$ Fall .
Insgesamt zählen wir hier also $10+6+3+1 = 20$ Möglichkeiten.

Ich denke, die restlichen Fälle werden dir jetzt keine Kopfschmerzen mehr bereiten.

P.S.: Falls du Lust hast, kannst du ja noch über den Zusammenhang der Zähl-Ergebnisse mit den Binomialkoeffizienten $\binom{n}{k}$ nachdenken...