Hallo,

es gilt

$$ \Vert \textbf{x} \Vert_p = \left( \sum\limits_{i=1}^n \vert x_i \vert ^p \right)^\frac 1 p $$

Das bedeutet wir nehmen von jeder Komponenten den Betrag und erheben ihn in die Potenz von \( p \). Dann ziehen wir die \( p\)-te Wurzel der Summe all unserer Potenzen. 

Beispielsweise gilt

$$ \Vert \textbf{v} \Vert_3 = \sqrt[3]{ \vert 2+3i \vert^3 + \vert 1+2i \vert^3 } $$

Für den Betrag einer komplexen Zahl gilt

$$ \vert z \vert = \sqrt{z\overline{z}} = \sqrt{(a+bi)(a-bi)} = \sqrt{a^2 + b^2} $$

Also erhalten wir

$$ \Vert \textbf{v} \Vert_3 = \sqrt[3]{ (\sqrt{2^2+3^2})^3 + (\sqrt{1^2 + 2^2})^3 } = \sqrt[3]{ (\sqrt{13})^3 + (\sqrt{5})^3} \approx 3,87 $$

Das kannst du nun übertragen auf alle reellen Zahlen \( 1 \leq p < \infty \)

Für die Maximumsnorm gilt

$$ \Vert \textbf{x} \Vert_{\infty} = \underset{i=1,\ldots,n}{max} \ \vert x_i \vert $$

Wir nehmen also von jeder Komponente den Betrag wie oben und gucken welcher Wert der größte ist, also das Maximum. Dieser ist dann der Wert unserer Maximumsnorm.

Grüße Christian