Für die Wohldefiniertheit musst du zeigen, dass \(L_v\in V^\ast\), also dass \(L_v:V\to\mathbb R,u\mapsto\langle u,v\rangle_s\) eine lineare Abbildung ist. Das ist einfaches Nachrechnen. Als nächstes solltest du zeigen, dass \(L\) ein Homomorphismus ist, also dass \(L(u+v)=L_{u+v}\overset!=L_u+L_v=L(u)+L(v)\) und \(L(\lambda v)=L_{\lambda v}\overset!=\lambda L_v=\lambda L(v)\). (Die Gleichungen mit dem ! sind jeweils zu zeigen) Auch das ist einfaches Nachrechnen.
Um zu zeigen, dass \(L\) bijektiv ist, genügt es zu zeigen, dass \(L\) injektiv ist, da \(L\) ein Homomorphismus zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen gleicher Dimension ist. Zu zeigen ist also \(\ker L=0\). Sei dazu \(v\in\ker L\), d.h. \(L_v(u)=0\) für alle \(u\in V\). Zeige \(v=0\).