Urbilder berechnen

Aufrufe: 115     Aktiv: 29.11.2022 um 00:00

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Die Frage ist wie oben gestellt. Nur Verständnishalber (bei uns an der Uni ist das so) das f mit dach = f und das f hoch -1 mit dach ist das Urbild. Ich sitze hier jetzt schon eine Weile und versuche zu verstehen wie ich diese Aufgabe lösen soll, bis jetzt bin ich auf die Lösungen:
  • f([-pi/2, pi/2]) = [0,1]
  • f^(-1)(f([-pi/2, pi/2])) = f^(-1)([0,1]) = [0, pi/2]
  • f^(-1)([1,3]) = [leere Menge]

gekommen.

Ich bin mir hier wirklich sehr unsicher, würde jeder Hilfe sehr dankbar sein.
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Vorweg: Es wird hier formal unterschieden zwischen $f$ und der Erweiterung $\hat f$ auf Mengen. Das muss man nicht machen, aber in der Aufgabe ist es so gemacht und daher solltest Du es in Deiner Lösung auch so angeben.
Davon mal abgesehen:

Das erste ist richtig.
Beim zweiten ist der erste Schritt richtig, aber der zweite nicht. Die Frage lautet ja, welche $x$-Werte landen in $[0,1]$? Die Aufgabe betrachtet ja $\cos:R\longrightarrow R$.
Beim dritten hast Du vermutlich die richtige Idee, aber nicht genau genug hingeschaut. Beachte genau die Menge, also das Intervall, um das es hier geht.

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Würde dann bei 2. [(-k*pi)/2, (k*pi)/2] und bei 3. [-2*pi*k, 2*pi*k) mit k ∈ ℕ rauskommen?   ─   user0b9207 28.11.2022 um 18:41

Nein (beide Male). Setz doch mal ein $k$ ein und probiere aus. Skizziere den $\cos$ auf ganz $R$, damit Du siehst, was los ist.
Es ist aber richtig, dass man hier mit einem Parameter $k$ arbeiten muss. Für das Endergebnis müssen die Teilergebnisse aber zusammengefasst werden (das Endergebnis ist ja eine einzige Menge.
  ─   mikn 28.11.2022 um 18:52

Also bei 3. kommen ja nur die Extrema des Kosinus in Frage, welche aller 2*pi den Wert 1 annehmen, ich weiß nicht genau wie ich diese Menge ausdrücken soll, da der erste Ansatz falsch ist würde ich dann auf [0; 2*k*pi] schätzen, also alle Hochpunkte die Kosinus hat. Bei 2. jedoch bin ich mir immer noch unschlüssig. Für den y-Wertebereich [0,1] kommt ja nur der Teil der Kosinusfunktion in Frage, welcher in y ∈ R+ liegt. Das Problem was ich dabei habe ist das Intervall anzugeben in denen sich die x bewegen, welche dafür in Frage kommen würden. Das sind ja nicht nur vereinzelte Punkte wie bei 3., sondern ein komplettes, sich wiederholendes, ein pi langes Intervall.   ─   user0b9207 28.11.2022 um 19:24

Zu 3. Du gibst hier ein Intervall an, sprichst aber von "vereinzelten Punkten" (und das ist auch richtig). Das passt aber nicht zusammen, "Intervall" und "vereinzelte Punkte".
Schreib doch einige von diesen Punkten mal konkret hin, also ohne $k$. Dann siehst Du vermutlich das Muster.
Zu 2. Auch alles richtig. Schreib doch einige von diesen Intervallen mal konkret hin, also ohne $k$. Dann siehst Du vermutlich das Muster.
Du hast schon alles richtig verstanden, es geht jetzt "nur noch" um die richtige Schreibweise.
  ─   mikn 28.11.2022 um 19:32

Ich muss ehrlich sagen ich suche jetzt schon eine Weile nach Schreibweisen aber ich komme einfach nicht zur richtigen Lösung.   ─   user0b9207 28.11.2022 um 21:30

Ich wollte Dich ja schrittweise hinführen. Nochmal: "Schreib doch einige..." Dann sehen wir weiter.   ─   mikn 28.11.2022 um 21:50

Also zu 2.: [-pi/ 2, pi/ 2]; [3pi/ 2, 5pi/ 2], hab ich noch keine wirkliche Idee wie ich das mathematisch ausdrücken kann.
Zu 3.: (-4pi, 1); (-2pi, 1); (0, 1); (2pi, 1); (4pi, 1), vielleicht einfach nur ={2*k*pi}?
  ─   user0b9207 28.11.2022 um 23:03

Zu 2.: Aha, gut. Und Du siehst ja (hoffentlich), dass die Intervalle immer um 2pi verschoben sind (wg der Periode 2pi). Hilft das weiter? Schreib noch weitere Intervalle hin.
Zu 3: Ok, das liegt jetzt an meiner unüberlegten Ausdrucksweise... Du hast die Punkte hingeschrieben. Wir brauchen natürlich nur die x-Werte davon. Auch die sind immer um 2pi verschoben, und daher ist das Muster 2kpi. Die richtige Schreibweise (d.h. Lösung von 3.) ist dann:
$\hat f^{-1}([1,3]) = \{ 2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$.
Das ist die gesuchte Menge.
In 2. dagegen müssen Mengen vereinigt werden um auf das Ergebnis zu kommen. Schreib es zunächst mit $....$ hin (es sind ja viele Mengen).
  ─   mikn 28.11.2022 um 23:12

Also sozusagen: .... U [-5pi/2, -3pi/2] U [-pi/2, pi/2] U [3pi/2, 5pi/2] U ....?   ─   user0b9207 28.11.2022 um 23:36

Genau. Viel besser kann man das auch nicht schreiben, je nachdem, was von Euch erwartet wird.
Es ginge noch $\bigcup\limits_{k\in \mathbb{Z}} [-\frac\pi2+2k\pi,\frac\pi2+2k\pi]$
  ─   mikn 28.11.2022 um 23:40

Ich danke dir viele Mal, du bist ein Genie. Wirklich vielen Dank. Einen schönen Abend noch :)   ─   user0b9207 28.11.2022 um 23:48

Danke, aber nicht übertreiben. Du hast auch gut mitgearbeitet. Dir auch noch einen angenehmen Restabend.   ─   mikn 29.11.2022 um 00:00

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