Urbilder berechnen

Aufrufe: 330     Aktiv: 29.11.2022 um 00:00
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Die Frage ist wie oben gestellt. Nur Verständnishalber (bei uns an der Uni ist das so) das f mit dach = f und das f hoch -1 mit dach ist das Urbild. Ich sitze hier jetzt schon eine Weile und versuche zu verstehen wie ich diese Aufgabe lösen soll, bis jetzt bin ich auf die Lösungen:
  • f([-pi/2, pi/2]) = [0,1]
  • f^(-1)(f([-pi/2, pi/2])) = f^(-1)([0,1]) = [0, pi/2]
  • f^(-1)([1,3]) = [leere Menge]

gekommen.

Ich bin mir hier wirklich sehr unsicher, würde jeder Hilfe sehr dankbar sein.
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Vorweg: Es wird hier formal unterschieden zwischen $f$ und der Erweiterung $\hat f$ auf Mengen. Das muss man nicht machen, aber in der Aufgabe ist es so gemacht und daher solltest Du es in Deiner Lösung auch so angeben.
Davon mal abgesehen:

Das erste ist richtig.
Beim zweiten ist der erste Schritt richtig, aber der zweite nicht. Die Frage lautet ja, welche $x$-Werte landen in $[0,1]$? Die Aufgabe betrachtet ja $\cos:R\longrightarrow R$.
Beim dritten hast Du vermutlich die richtige Idee, aber nicht genau genug hingeschaut. Beachte genau die Menge, also das Intervall, um das es hier geht.

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Würde dann bei 2. [(-k*pi)/2, (k*pi)/2] und bei 3. [-2*pi*k, 2*pi*k) mit k ∈ ℕ rauskommen?   ─   user0b9207 28.11.2022 um 18:41
Also bei 3. kommen ja nur die Extrema des Kosinus in Frage, welche aller 2*pi den Wert 1 annehmen, ich weiß nicht genau wie ich diese Menge ausdrücken soll, da der erste Ansatz falsch ist würde ich dann auf [0; 2*k*pi] schätzen, also alle Hochpunkte die Kosinus hat. Bei 2. jedoch bin ich mir immer noch unschlüssig. Für den y-Wertebereich [0,1] kommt ja nur der Teil der Kosinusfunktion in Frage, welcher in y ∈ R+ liegt. Das Problem was ich dabei habe ist das Intervall anzugeben in denen sich die x bewegen, welche dafür in Frage kommen würden. Das sind ja nicht nur vereinzelte Punkte wie bei 3., sondern ein komplettes, sich wiederholendes, ein pi langes Intervall.   ─   user0b9207 28.11.2022 um 19:24
Ich muss ehrlich sagen ich suche jetzt schon eine Weile nach Schreibweisen aber ich komme einfach nicht zur richtigen Lösung.   ─   user0b9207 28.11.2022 um 21:30
Also zu 2.: [-pi/ 2, pi/ 2]; [3pi/ 2, 5pi/ 2], hab ich noch keine wirkliche Idee wie ich das mathematisch ausdrücken kann.
Zu 3.: (-4pi, 1); (-2pi, 1); (0, 1); (2pi, 1); (4pi, 1), vielleicht einfach nur ={2*k*pi}?
   ─   user0b9207 28.11.2022 um 23:03
Also sozusagen: .... U [-5pi/2, -3pi/2] U [-pi/2, pi/2] U [3pi/2, 5pi/2] U ....?   ─   user0b9207 28.11.2022 um 23:36
Ich danke dir viele Mal, du bist ein Genie. Wirklich vielen Dank. Einen schönen Abend noch :)   ─   user0b9207 28.11.2022 um 23:48

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