Differentialgleichung

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i) Gelöst mit den EW und EV lt Screenshot.

ii) Wie wird hier die Lösung angeschrieben? x = c1* ..... + c2 * .......

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Student, Punkte: 39

 

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1 Antwort
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Hallo,

prinzipiell wird die allgemeine Lösung folgendermaßen aufgeschrieben. Seien \( \lambda_i \) die Eigenwerte und \( v_i \) die Eigenvektoren. Zudem seien \( d_i \) Konstanten. Dann gilt

$$ y(x) = \sum\limits_{i=1}^n d_i v_i e^{\lambda_i x} $$

Nun hast du hier aber komplexe Eigenwerte bzw Eigenvektoren. Also müssen wir hier ein bisschen umformen. Es gibt bei nur einer DGL (also keinem System) die Möglichkeit eine komplexe Lösung umzuformen

$$ c_1 e^{aix} + c_2 e^{-aix} = \tilde c_1 \cos(ax) + \tilde c_2 \sin(ax) $$

Dort haben wir nun keine imaginäre Zahl mehr. Diese "verschwindet" in den neuen Konstanten $ \tilde c_i $. Ich denke das selbe sollst du dir hier auch überlegen. Fang an deine allgemeine komplexe Lösung hinzuschreiben. Nutze dann die Potenzgesetze um $ e^{(2i\pm 1)x} $ in eine reelle und eine komplexe Zahl aufzuspalten. 
Dann nutze die Eulersche Formel

$$ e^{iy} = \cos(y) + i \sin(y) $$

und forme die Lösung solange um, bis du alle i's in Konstanten unterbringen kannst. Dadurch erhälst du dann eine reelle Lösung. Falls du nicht weiter kommst, melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian
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Vielen Dank für die ausführliche Antwort ich werd die Tage das nochmal komplett durchrechnen.
Macht für mich alles so weit Sinn, die i's in den EV dürfen so stehen bleiben?
  ─   domi1312 09.06.2021 um 13:01

Sehr gerne :)
Nein die i's müssen auch aus den Eigenvektoren verschwinden. Teile dafür die Vektoren in eine Summe aus zwei Vektoren auf.

Zeige wenn du fertig bist gerne deinen Lösungsversuch. Dann guck ich einmal drüber :)
  ─   christian_strack 09.06.2021 um 19:48

https://www.directupload.net/file/d/6211/f6dd2hbk_png.htm

Konnte leider kein Bild hier hochladen...

Wie kann ich nun die i's aus den Eigenvektoren verschwinden lassen?
  ─   domi1312 vor 5 Tagen, 19 Stunden

Ja das sieht doch schon mal sehr gut aus. Damit ich nicht so viel tippen muss, schnappe ich mir mal nur den ersten Summanden:

$$ \tilde c_1 \sin(2x) \left( i \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = (\tilde c_1 \cdot i) \sin(2x) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + (-\tilde c_1 )\sin(2x) \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} = \hat c_1 \sin(2x) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \hat c_2 \sin(2x) \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} $$

Jetzt könnte man \( sin(2x) \) noch ausklammern wenn man will. Auf jeden Fall würde ich sagen, dass das dann eine reelle Lösung ist.
  ─   christian_strack vor 5 Tagen, 18 Stunden

Ah moment. Du musst auch aufpassen, wenn du \( e^{-2ix} \) und \( e^{2ix} \) loswirst. Da du jeweils noch einen anderen Vektor als Vorfaktor hast, lassen sich die \( \sin(2x) \) und \( \cos(2x) \) nicht so einfach zusammenfassen wie ohne Vektoren. Hast du das Schritt für Schritt durchgerechnet? Habe ich jetzt nicht gemacht, muss gleich kurz in ein Meeting. Kann sonst später nochmal nachrechnen ob es passt
  ─   christian_strack vor 5 Tagen, 18 Stunden

Oh ok, nein hab das nicht nachgerechnet. (Hab begonnen und dann ist mir eingefallen das man es ja weiß und hab es so angenommen. Gut zu wissen dass das dann ausgerechnet werden muss)
Ich hab noch etwas vom Prof. gefunden, hab es jetzt mal nach der Methode gerechnet. Find ich um einiges kürzer und einfacher.
Schaut das so plausibel aus?
https://www.directupload.net/file/d/6211/7x8jossp_png.htm
  ─   domi1312 vor 5 Tagen, 18 Stunden

Ja das macht schon Sinn. Im Prinzip ist es das was ich hier mühselig Schritt für Schritt ausrechnen wollte. Macht es definitiv einfacher es direkt in den Komponenten zu bestimmen.

Allerdings scheint dort irgendwo ein Vorzeichendreher drin zu sein. Wenn man die Probe macht, passt es nicht.

Betrachten wir mal die erste Zeile
$$ d_1 e^x \cos(2x) + d_2 e^x \sin(2x) $$
Wenn wir das ableiten bekommen wir
$$ d_1 e^x (\cos(2x) - 2\sin(2x)) + d_2 e^x (\sin(2x) + 2 \cos(2x)) $$
Wenn wir allerdings deine Lösung mit der Matrix multiplizieren, ergibt die erste Zeile
$$ d_1 e^x (\cos(2x) + 2 \sin(2x)) + d_2 e^x (\sin(2x) - 2 \cos(2x)) $$
(ich hoffe ich habe mich jetzt nirgendwo verrechnet)
  ─   christian_strack vor 5 Tagen, 15 Stunden

Hmm ich komme aber beim zusammenfassen auf den selben Wert wie in der Lösung. Bin mir gerade unsicher wo ich mich verrechnet habe, aber der Weg macht definitiv sind :p   ─   christian_strack vor 5 Tagen, 15 Stunden

Sollte es nicht egal sein, weil es sind ja quasi nur die Konstanten vertauscht... ich kann ja d1 einfach d2 nennen und umgekehrt. Dann kommt das selbe :)
Viele Dank für die Hilfe!! :)
  ─   domi1312 vor 5 Tagen, 14 Stunden

Ne können wir nicht. Wir erhalten ja durch Festlegung der Konstanten eine explizite Lösung. Nehmen wir mal, es ist \( d_1 =1 \) und \( d_2 = 2 \). Dann ist
$$ e^x (\cos(2x) - 2\sin(2x)) + 2 e^x (\sin(2x) + 2 \cos(2x)) $$
wenn wir die Lösung ableiten und
$$ e^x (\cos(2x) + 2 \sin(2x)) + 2 e^x (\sin(2x) - 2 \cos(2x)) $$
wenn wir sie multiplizieren. Aber wie gesagt ich denke ich habe irgendwo einen Fehler gemacht. Vielleicht bin ich schon Wochenendreif :p Der Weg ist auf jeden Fall der richtige :)
  ─   christian_strack vor 5 Tagen, 12 Stunden

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