prinzipiell wird die allgemeine Lösung folgendermaßen aufgeschrieben. Seien \( \lambda_i \) die Eigenwerte und \( v_i \) die Eigenvektoren. Zudem seien \( d_i \) Konstanten. Dann gilt
$$ y(x) = \sum\limits_{i=1}^n d_i v_i e^{\lambda_i x} $$
Nun hast du hier aber komplexe Eigenwerte bzw Eigenvektoren. Also müssen wir hier ein bisschen umformen. Es gibt bei nur einer DGL (also keinem System) die Möglichkeit eine komplexe Lösung umzuformen
$$ c_1 e^{aix} + c_2 e^{-aix} = \tilde c_1 \cos(ax) + \tilde c_2 \sin(ax) $$
Dort haben wir nun keine imaginäre Zahl mehr. Diese "verschwindet" in den neuen Konstanten $ \tilde c_i $. Ich denke das selbe sollst du dir hier auch überlegen. Fang an deine allgemeine komplexe Lösung hinzuschreiben. Nutze dann die Potenzgesetze um $ e^{(2i\pm 1)x} $ in eine reelle und eine komplexe Zahl aufzuspalten.
Dann nutze die Eulersche Formel
$$ e^{iy} = \cos(y) + i \sin(y) $$
und forme die Lösung solange um, bis du alle i's in Konstanten unterbringen kannst. Dadurch erhälst du dann eine reelle Lösung. Falls du nicht weiter kommst, melde dich gerne nochmal.
Grüße Christian
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Nein die i's müssen auch aus den Eigenvektoren verschwinden. Teile dafür die Vektoren in eine Summe aus zwei Vektoren auf.
Zeige wenn du fertig bist gerne deinen Lösungsversuch. Dann guck ich einmal drüber :) ─ christian_strack 09.06.2021 um 19:48
Konnte leider kein Bild hier hochladen...
Wie kann ich nun die i's aus den Eigenvektoren verschwinden lassen? ─ anonym2ea41 11.06.2021 um 11:50
$$ \tilde c_1 \sin(2x) \left( i \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = (\tilde c_1 \cdot i) \sin(2x) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + (-\tilde c_1 )\sin(2x) \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} = \hat c_1 \sin(2x) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \hat c_2 \sin(2x) \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} $$
Jetzt könnte man \( sin(2x) \) noch ausklammern wenn man will. Auf jeden Fall würde ich sagen, dass das dann eine reelle Lösung ist. ─ christian_strack 11.06.2021 um 12:11
─ christian_strack 11.06.2021 um 12:15
Ich hab noch etwas vom Prof. gefunden, hab es jetzt mal nach der Methode gerechnet. Find ich um einiges kürzer und einfacher.
Schaut das so plausibel aus?
https://www.directupload.net/file/d/6211/7x8jossp_png.htm ─ anonym2ea41 11.06.2021 um 12:30
Allerdings scheint dort irgendwo ein Vorzeichendreher drin zu sein. Wenn man die Probe macht, passt es nicht.
Betrachten wir mal die erste Zeile
$$ d_1 e^x \cos(2x) + d_2 e^x \sin(2x) $$
Wenn wir das ableiten bekommen wir
$$ d_1 e^x (\cos(2x) - 2\sin(2x)) + d_2 e^x (\sin(2x) + 2 \cos(2x)) $$
Wenn wir allerdings deine Lösung mit der Matrix multiplizieren, ergibt die erste Zeile
$$ d_1 e^x (\cos(2x) + 2 \sin(2x)) + d_2 e^x (\sin(2x) - 2 \cos(2x)) $$
(ich hoffe ich habe mich jetzt nirgendwo verrechnet)
─ christian_strack 11.06.2021 um 15:07
Viele Dank für die Hilfe!! :) ─ anonym2ea41 11.06.2021 um 16:32
$$ e^x (\cos(2x) - 2\sin(2x)) + 2 e^x (\sin(2x) + 2 \cos(2x)) $$
wenn wir die Lösung ableiten und
$$ e^x (\cos(2x) + 2 \sin(2x)) + 2 e^x (\sin(2x) - 2 \cos(2x)) $$
wenn wir sie multiplizieren. Aber wie gesagt ich denke ich habe irgendwo einen Fehler gemacht. Vielleicht bin ich schon Wochenendreif :p Der Weg ist auf jeden Fall der richtige :) ─ christian_strack 11.06.2021 um 18:25
Macht für mich alles so weit Sinn, die i's in den EV dürfen so stehen bleiben? ─ anonym2ea41 09.06.2021 um 13:01