Du kannst die $pq$ Formel verwenden:
$$ x_{1,2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} $$
In deinem Beispiel sind $p$ und $q$ folgende Zahlen:
$$ p = -a,\qquad q = -a-1 $$
weil $p$ ja der Koeffizient von $x$ ist, und $q$ ist alles ohne $x$.

Damit kannst du $x_1$ und $x_2$ berechnen:
$$ x_1 = \frac{a}{2} + \sqrt{\frac{a^2}{4}+a+1},\qquad x_2 = \frac{a}{2} - \sqrt{\frac{a^2}{4}+a+1} $$
Wenn wir dann noch erkennen, dass $(a/2+1)^2 = a^2/4 + a + 1$, dann bekommen wir:
$$ x_1 = \frac{a}{2} + \sqrt{\left(\frac{a}{2}+1\right)^2},\qquad x_2 = \frac{a}{2} - \sqrt{\left(\frac{a}{2}+1\right)^2} $$
Und weiter:
$$ x_1 = \frac{a}{2} + \frac{a}{2}+1,\qquad x_2 = \frac{a}{2} - \left(\frac{a}{2}+1\right) $$
Das Ergebnis ist:
$$ x_1 = a+1,\qquad x_2 = -1 $$