Mal abgesehen davon, dass man im Induktionsbeweis um jeden Preis auf Äquivalenzen verzichten sollte (denn das ist einfach schlechter Stil), gibt es ein paar Fehler, die du gemacht hast:

Im Induktionsanfang warst du etwas vorschnell. Du hast geschrieben \( \sum_{k=1}^1 (-1)^{1+1} 1^2 \). Das ergibt so natürlich wenig Sinn. Da müsste stehen \( \sum_{k=1}^1 (-1)^{k+1} k^2 = (-1)^{1+1} \cdot 1^2 \). Außerdem ist danach das Äquivalenzzeichen völlig fehl am Platz (also nicht einfach nur wegen der Ästetik, sondern weil dort keine Äquivalenz gezeigt werden soll). Du kannst einfach alles in eine einzige Gleichung packen. Also so:

\( \sum_{k=1}^1 (-1)^{k+1} k^2 = (-1)^{1+1} \cdot 1^2 = (-1)^{1+1} \cdot 1= (-1)^{1+1} \frac{1 \cdot (1+1)}{2} \)

Und im Induktionsschritt hast du irgendetwas gezeigt, aber leider nicht die Aussage, die du zeigen solltest. Zu zeigen ist:

\( \sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{k+1} k^2 = (-1)^{n+2} \frac{(n+1) \cdot (n+2)}{2} \)

Den Induktionsschritt musst du auf jeden Fall noch mal komplett neu machen. Und wenn du das tust, dann versuche mal, keine Äquivalenzen zu machen, sondern nur Gleichheitszeichen. Damit du später eine Gleichungskette von der folgenden Form hast:

\( \sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{k+1} k^2 = \dots = \dots = \dots = (-1)^{n+2} \frac{(n+1) \cdot (n+2)}{2} \)

Dann kann man sofort von links nach rechts lesen, warum die Gleichung, die du zeigen sollst, gilt.

Forme dafür die Summe so um, dass du die IV verwenden kannst, sprich: Ziehe den letzten Summanden aus der Summe raus. Dann steht da: Summand + linker Term aus der IV. Dann verwendest du die IV und erhälst: Summand + rechter Term aus der IV. Und das musst du dann umformen, bis du beim gewünschten Ausdruck rauskommst.