Mathe q1 integrale Flächenberechnung Parabel und Tangente

Aufrufe: 226     Aktiv: 06.11.2023 um 15:06

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Aufgabe: 

Beweisen Sie: Der Graph von f mit f(x) = x^2, die Tangente an f in P(a | f(a)) und die y-Achse begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A = 1/3 a^3

Folgenden Ansatz haben wir in der Schule gerechnet:

1. Tangenten Gleichung. 

t(x)=2ax−a^2

2. Integral von 0-a bilden: 

Wenn man das dann auflöst kommt dann 1/3raus. 

Meiner Meinung nach ergibt das keinen Sinn, da man lediglich beweist, dass der Flächeninhalt der blauen und roten Fläche gleich 1/3 a^3 ist. Die rote und grüne Fläche ergeben ja zusammen 0. 

Wo liegt da mein Denkfehler?IMG_0259.png

gefragt

Schüler, Punkte: 14

 

Crosspost mit mathelounge   ─   mikn 06.11.2023 um 14:36

Die Leute scheinen ja echt ungeduldig zu sein, wenn sie auf sämtlichen Plattformen posten... aber reagieren können sie dann auch nicht... Wow.   ─   cauchy 06.11.2023 um 15:06
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1 Antwort
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Es geht um die Fläche zwischen Parabel und Tangente im Intervall $[0;a]$ (grüne+blaue Fläche). Das wird folgerichtig mit dem Integral $\int\limits_0^a\!f(x)-t(x)\,\mathrm{d}x$ berechnet (hier wurden lediglich $f$ und $t$ vertauscht, warum auch immer). Wie du darauf kommst, dass dieses Integral die blaue+rote Fläche berechnet, weiß ich nicht. Diese wird nämlich nur durch Integration über $f$ berechnet und ist unabhängig von der Tangente. Das sieht man schon daran: Lässt man die Tangente weg, ändert sich gar nichts an dieser Fläche. 

Die rote+grüne Fläche ergeben übrigens nicht 0, weil Flächen nicht negativ sein können. Man sagt besser, dass die Flächen gleich groß sind. Aber auch das ist ja unerheblich. 

Und für die Zukunft: Keine Formeln und Rechnungen aus irgendwelchen Dokumenten rauskopieren. In den meisten Fällen werden die Formel derart verunstaltet, dass man gar nichts mehr lesen kann. Aber ich sehe, du hast es schon korrigiert. Entweder richtig abtippen oder als Bild anhängen.
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