Moin,
hier substituiert man u für \(x^3+1\), da \(dx=\frac{du}{3x^2}\), und sich die \(x^2\) Terme wegkürzen. Es folgt: \(\frac{1}{3}\int\sqrt{u}du\) , was man einfach zu \(\frac{2u^{\frac{2}{3}}}{9}\) integrieren kann. Nach resubstituieren kommt man zum Endergebnis: \(\frac{2 \cdot \sqrt{(x^3+1)^3}}{9}\)
LG
FIx

Die Schreibweise kann man glaube ich in der Form nur dann verstehen, wenn man selber weiß, wie es geht. Formal ist das zumindest unübersichtlich (oder falsch), und dass $=$ fehlen und $\Leftrightarrow$ irgendwo auftauchen, hilft beim Verständnis nicht wirklich. Eine ganz offizielle Schreibweise kriege ich auf die Schnelle auch nicht hin. Aber: Substitutionsregel ist ja im Prinzipt die Kettenregel rückwärts. Deshalb gilt:
$$
\int g'(x)\cdot h'(g(x)) \text{ d}x = h(g(x))
$$
Wenn Du also im Integranden eine innere Funktion findest (in Deinem Beispiel $g(x)=x^3+1$), deren Ableitung mit der äußeren Funktion multipliziert wird (und sonst kommt $x$ nicht vor), dann kannst Du das anwenden. Es ist ja $g'(x)=3x^2$. Im Integral steht aber nur $x^2$, d.h. man muss hier mit einem Drittel erweitern: $x^2=\frac13\cdot 3x^2=\frac13\cdot g'(x)$.

Die äußere Funktion ist die Wurzel, also $h'(t)=\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}$, d.h. eine Stammfunktion davon ist $h(t)=\frac{2}{3}\cdot t^{\frac{3}{2}}$.
Also sieht das insgesamt so aus:
$$
\int \frac13\underbrace{\cdot 3x^2}_{g'(x)} \cdot \underbrace{\sqrt{x^3-1}}_{h'(g(x))}\text{ d}x = \frac13\cdot \underbrace{\frac23\cdot(x^3-1)^\frac32}_{h(g(x))}=\frac29\cdot(x^3-1)^\frac32
$$

Ich vermute, dass bei dem Foto erstmal eine Stammfunktion von $x^2$ aufgeschrieben wurde, damit begründet wird, dass man als innere Funktion etwas mit x^3 sucht. Das gibt es ja tatsächlich unter der Wurzel. Die Funktion unter der Wurzel wird dann als $u$ bezeichnet. $u'$ wird gebildet um den Vorfaktor zu begründen (also das, was ich erweitert habe).
Die Zeile, die mit $\sqrt{u}$ beginnt, bestimmt eine Stammfunktion von $u$ - da ist das erste $=$ falsch, denn dahinter steht die Stammfunktion, die natürlich nicht gleich ist.
Die zweite Zeile links mit dem $\frac13x^3$ hat kein $=$, weil es nicht gleich ist - da dürfte nur $\frac13$ stehen (ohne $x^3$). Das nächste $=$ bezieht sich dann auf die erste Zeile, nicht auf die zweite...

Also da steht eigentlich alles, was gemacht wurde.

Du hast das Integral \( f(x) = \int x^2*\sqrt{x^3+1} \ dx\)

Beim Anwenden der Integration durch Substitution wählst du entweder den Audruck \( x^2 \) oder \( \sqrt{x^3+1} \). Hier wurde der Wurzelausdruck (nur das was IN der wurzel steht) genommen.

Schritt 1: Wähle was du substituieren willst, hier: \( u = x^3+1 \)
Schritt 2: Bilde die Ableitung von u: \( u' = 3x^2 \)
Schritt 3: in dx Einsetzen: \( dx = \frac{du}{u'} = \frac{du}{3x^2} \)
Schritt 4: (Substituieren) in die Funktion einsetzen: \( f(x) = \int x^2*\sqrt{u} * \frac{du}{3x^2} \) hier wurde dx durch den Ausdruck aus Schritt 3 ersetzt und der Term in der Wurzel durch u. Diesen Vorgang nennt man substituieren.
Schritt 5: Zusammenfassen: \( f(x) = \int \frac{x^2}{3x^2}*\sqrt{u} *du \) ich habe den Nenner bei du einfach umgestellt, das geht, da multiplikation. nun kürzt sich der Nenner und der Zähler und der Faktor 1/3 kann vor das Integral gezogen werden, da er keine Variable besitzt, die integriert werden muss \( f(x) =  \frac{1}{3}*\int \sqrt{u} *du \)
Schritt 6: Integrieren: \( f(x) =  \frac{1}{3}*[\frac{2u^{\frac{3}{2}}}{3}] \) Stammfunktion bilden mit der Potenzregel
Schritt 7: Rücksubstituieren: \( f(x) =  \frac{1}{3}*[\frac{2(x^3+1)^{\frac{3}{2}}}{3}] = \frac{2(x^3+1)^{\frac{3}{2}}}{9} \) also aus dem u wieder x^3+1