Also da steht eigentlich alles, was gemacht wurde.
Du hast das Integral \( f(x) = \int x^2*\sqrt{x^3+1} \ dx\)
Beim Anwenden der Integration durch Substitution wählst du entweder den Audruck \( x^2 \) oder \( \sqrt{x^3+1} \). Hier wurde der Wurzelausdruck (nur das was IN der wurzel steht) genommen.
Schritt 1: Wähle was du substituieren willst, hier: \( u = x^3+1 \)
Schritt 2: Bilde die Ableitung von u: \( u' = 3x^2 \)
Schritt 3: in dx Einsetzen: \( dx = \frac{du}{u'} = \frac{du}{3x^2} \)
Schritt 4: (Substituieren) in die Funktion einsetzen: \( f(x) = \int x^2*\sqrt{u} * \frac{du}{3x^2} \) hier wurde dx durch den Ausdruck aus Schritt 3 ersetzt und der Term in der Wurzel durch u. Diesen Vorgang nennt man substituieren.
Schritt 5: Zusammenfassen: \( f(x) = \int \frac{x^2}{3x^2}*\sqrt{u} *du \) ich habe den Nenner bei du einfach umgestellt, das geht, da multiplikation. nun kürzt sich der Nenner und der Zähler und der Faktor 1/3 kann vor das Integral gezogen werden, da er keine Variable besitzt, die integriert werden muss \( f(x) = \frac{1}{3}*\int \sqrt{u} *du \)
Schritt 6: Integrieren: \( f(x) = \frac{1}{3}*[\frac{2u^{\frac{3}{2}}}{3}] \) Stammfunktion bilden mit der Potenzregel
Schritt 7: Rücksubstituieren: \( f(x) = \frac{1}{3}*[\frac{2(x^3+1)^{\frac{3}{2}}}{3}] = \frac{2(x^3+1)^{\frac{3}{2}}}{9} \) also aus dem u wieder x^3+1