Hallo karate,

ich habe mich von dir anstecken lassen und auch versucht für deine angegebene Funktion den Grenzwert zu ermitteln. Ich habe nach verschiedenen Herangehensweisen es nun doch geschafft und versuche dir den Gedanken kurz darzulegen. Dein Idee mit dem e-hoch-ln-Trick war schon ganz gut.

Als erstes habe ich den "ekligen" Term innerhalb des Tangens substituiert, also \(z=\dfrac{\pi x}{2x+1} \quad \Leftrightarrow \quad x=\dfrac{z}{\pi-2z}\). Es ist denk ich klar, dass \(z\overset{x\longrightarrow \infty}{\longrightarrow} \dfrac{\pi}{2}\) gilt. Somit ergibt sich durch den e-hoch-ln-Trick, dem Logarithmengesetz und geschickten Umstellung der Ausdruck:
\(\underset{x\longrightarrow \infty}{\lim} \left(\tan \left(\dfrac{\pi x}{2x+1}\right)\right)^{\frac{1}{x}} = \underset{z\longrightarrow \frac{\pi}{2}}{\lim} \left(\tan(z)\right)^{\frac{\pi-2z}{z}}=\underset{z\longrightarrow \frac{\pi}{2}}{\lim} e^{ \frac{\pi-2z}{z} \cdot \ln(\tan(z))}=\underset{z\longrightarrow \frac{\pi}{2}}{\lim} e^{ \frac{\ln(\tan(z))}{\frac{z}{\pi-2z}}}\).

Da die e-Funktion stetig ist ziehe ich den Grenzwert in den Exponenten und erhalte mit \(\underset{z\longrightarrow \frac{\pi}{2}}{\lim} \dfrac{\ln(\tan(z))}{\frac{z}{\pi-2z}}\) einen Ausdruck von '\(\frac{\infty}{\infty}\)'. 

Nach einmaligen Anwenden von L'Hospital komme ich auf \(\underset{z\longrightarrow \frac{\pi}{2}}{\lim} \dfrac{(\pi-2z)^2}{\pi\sin(z)\cos(z)}\) mit einen Ausdruck von '\(\frac{0}{0}\)'. (Als Hinweis: ich habe \(\frac{1}{\cos^2(x)}\) als Ableitung das Tangens gewählt und nach dem Ableiten \(\frac{\sin(z)}{\cos(z)}\) für den Tangens eingesetzt ... zusammenfassen ergibt dann die dargestellte Funktion ... das kannst du dir ja nochmal in Ruhe zu Gemüte führen.)

Nach der zweiten Anwendung von L'Hospital komme ich auf \(\underset{z\longrightarrow \frac{\pi}{2}}{\lim} -\dfrac{4}{\pi} \cdot \dfrac{\pi-2z}{\cos^2(z)-\sin^2(z)}=-\dfrac{4}{\pi} \cdot \dfrac{0}{0-1}=0\).

Somit folgt also schlussendlich für deinen Grenzwert:
\(\underset{x\longrightarrow \infty}{\lim} \left(\tan \left(\dfrac{\pi x}{2x+1}\right)\right)^{\frac{1}{x}} =\ldots =\underset{z\longrightarrow \frac{\pi}{2}}{\lim} e^{ \frac{\ln(\tan(z))}{\frac{z}{\pi-2z}}}=e^0=1\)

Die einzelnen Schritte kannst du ja nochmal nachrechnen. :)



Hoffe das war verständlich genug und hilft dir weiter.

Das ist ein unbestimmter Ausdruck vom Typ \(\infty^0\). man kann die de l'Hospitalsche regel nicht direkt anwenden, aber nach Umformung schon. Nutze \( f(x) ^{g(x)} = e ^{\ln (f(x)^g(x))} = e^{g(x) \ln f(x)} \)Jetzt hat man im Exponenten mit \(g(x) =1/x \) und \( f(x) = \tan(\pi/(2+1/x) ) \) den Typ 2unendlich durch unendlich". jetzt geht es mit der oben erwähnen Regel.
Übrigens ist Deine obige Umformung mit dem Logarithmus falsch. Schau Dir noch einmal die Logarithmengesetze an. lernplaylist Grundkurs mathematik.