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Guten Abend allerseits,

Ich frage mich wie ich den Zusammenhang E[XY] = E[X]E[Y] interpretieren kann?

Wie finde ich E[XY] und warum hält dieser Zusammenhang nicht immer?

Daher hier ein Beispiel eines Zusammenhangs zwischen X = {1,2,3,4,5,6} der Wurf eines Würfels mit einer Gleichverteilung 1/6 und der Wurf einer Münze mit Y = {0,1}

Wie kann ich jetzt hier einen gemeinsammen Erwartungswert ausrechnen und was bedeutet dieser dann?

Hier meine Idee: Eine Iteration von jeweils den beiden Werten die Y annehmen kann multipliziert mit den 6 Werten die X annehmen kann, also

P(X=1 Y=0) = 1/6 * 1/2 +  P(X=1 Y =1) = 1/6 * 1/2 + P(X=2 Y=0) = 1/6 * 1/2 + ..... + P(X=6, Y = 1) = 1/6 * 1/2 

Macht das so Sinn? 

Und wer kennt dazu Quellen die E[XY] = E[X]E[Y] genauer erklären. Mein Skript tut dies leider nicht und ich bin diezbezüglich verwirrt.

Und wie kann ich also den gemeinsamen Erwartungswert finden, wenn ich zwei Randverteilungen fX(x) und fY(y) habe? 

Und was bedeutet der gemeinsame Erwartungswert überhaupt?


Beste Grüße und vielen Dank.
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Hallo Benito,

Beachte \(E[XY] = E[X]E[Y]\) gilt nur, falls X und Y unabhängig sind.

Bei deinen Beispielen für Zufallsvariablen musst du aufpassen, es gilt nicht X = {1,2,3,4,5,6}, sondern das ist der Ereignisraum \(\Omega\), alles was geworfen werden kann. \(X:\Omega\to\mathbb N \) gibt nun etwas aus diesem \(\Omega\) aus, z. B. welche Augenzahl bei einem Wurf gefallen ist. Für die Gleichverteilung schreibt man oft \(X\sim\mathcal U(1,6)\) und man bekommt dann die Dichtefunktion

\(P(X = x) = \begin{cases}
\frac{1}{6} & \text{für}\; x = n\ (n = 1, \dotsc, 6) \\
0 & \text{sonst}
\end{cases}\)
und den Erwartungswert
\(E(X) = 7/2 = 3{,}5\)

Wenn man nun \(Y\sim\mathcal U(0,1)\) bzw. \(Y\sim\operatorname{Ber}(\frac12)\) definiert, erhält man:
\(P(Y = y) = \begin{cases}
\frac{1}{2} & \text{für}\; x = n\ (n = 1, 2) \\
0 & \text{sonst}
\end{cases}\)
und den Erwartungswert
\(E(X) = 1/2 = 0{,}5\)

Der Wert von XY heißt ist die geworfene Augenzahl multipliziert mit 1 oder 0 je nach dem, ob Kopf oder Zahl gefallen ist.

Um E(XY) zu berechnen, berechne immer erst die einzelnen Erwartungswerte. Für abhängige Zufallsvariablen auch die Kovarianz: \(\operatorname{E}(XY)= \operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)+\operatorname{Cov}(X,Y)\), jeweils mit der Formel \(\operatorname{E}(X)=\sum\limits_{n=1}^6  n\cdot P(X=n)\).

Mit den zwei Randverteilungen können wir nichts anfangen, für die gilt bei Unabhängigkeit aber die Relation \(F_{X,Y}(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)\) gilt, wobei \(F_{X,Y}(x,y)\) die gemeinsame Verteilung von X und Y ist, die aber nichts mit der Produktverteilung zu tun hat.

Viele Grüße
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Oben stehen nicht die Verteilungsfunktionen, sondern die Dichtefunktionen.   ─   cauchy 14.02.2021 um 19:13

habs angepasst thx   ─   holly 14.02.2021 um 19:49

Hey holly, danke schonmal. Heißt das ich muss jeden Wertungswert einzeln ausrechnen? Oder kann ich erst die beiden Verteilungen (bzw Dichtefunktionen) miteinander multiplizieren und mit dieser Funktion dann etwas anfangen?
verstehst du was ich meine?

Deswegen dachte ich an die Randverteilungen.

Beste Grüße
  ─   benitodilorenzo 14.02.2021 um 20:32

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Wenn du die Dichtefunktionen der Verteilungen miteinander multiplizierst, bekommst du die gemeinsame Verteilung von X und Y heraus. Du brauchst für E(XY) aber die Verteilung von XY, die sich nicht auf diese Weise berechnet.

Das heißt, wenn X und Y unabhängig bekommst du E(XY) ganz schnell indem du EX und EY einzeln ausrechnest und multiplizierst.
  ─   holly 14.02.2021 um 20:43

okay. Und wie würde ich die Verteilung von XY bekommen? :)   ─   benitodilorenzo 14.02.2021 um 20:47

Indem du die Wahrscheinlichkeiten entsprechend aufsummierst. Aber was willst du denn mit der Verteilung überhaupt?   ─   cauchy 14.02.2021 um 21:15

ich glaube was mich verwirrt hier ist (bei meinem obigen Beispiel) WIE ich die Wahrscheinlichkeiten aufsummieren kann, da ja der Münzwurf nur zwei mögliche Ausgaben im Ergebnisraum hat, der Würfelwurf aber sechs.

Ich kann es mir nicht denken wie ich das formell aufschreiben kann.

Was ich damit will ist vor allem zu verstehen wie ich vorgehen kann, wenn ich dieser Situation in freier Wildbahn begegne. Außerdem möchte ich das ganze gerne verstehen da ich für eine Prüfung lerne.

  ─   benitodilorenzo 14.02.2021 um 22:08

Wenn du eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für \(XY\) aufstellen willst, musst du jeden Wert von \(X\) mit jedem Wert von \(Y\) kombinieren. Das kann man gut über eine Tabelle machen und ist bei deinem besagten Beispiel auch relativ einfach. Diese Verteilung kannst du dann nutzen, um den Erwartungswert zu berechnen.   ─   cauchy 14.02.2021 um 22:11

Okay, Danke
Ist die Tabelle der einzige Weg?

Ich frage auch deshalb weil es mich weiterhin verwundert wieso E[XY] irgendwie anders sein kann als E[X]E[Y]. Die Formel die Holly zeigt macht natürlich Sinn.
Daher auch die Frage: Ist das der einzige Weg um E[XY] zu berechnen? Indem ich erst E[X]E[Y] berechne und dann noch schaue ob die Covarianz von 0 verschieden ist?
Macht Sinn für mich, ist natürlich komplex und etwas holperig.

Hier nochmal warum ich extra Frage:
Hollys gezeigte Formel \( E[XY] = E[X]E[Y] + Cov(X,Y) \) lässt sich ja auch anders schreiben als:
\( Cov(X,Y)= E[XY] - E[X]E[Y] \)
Nun ist aber diese Formel für Kovarianz doch anders und leitet die Kovarianz auch etwas anders ab:
\( Cov(X,Y) = E[(X-E[X])*(Y-E[Y])] \) wo ja die Abweichung der Zufallsvariable vom Erwartungswert gemessen wird.
Wo wird diese Abweichung gemessen in der Formel \( Cov(X,Y)= E[XY] - E[X]E[Y] \) ?

Ich versteh glaube ich imme noch nicht was genau der Unterschied ist zwischen \( E[XY] \) und \( E[X]E[Y] \)

Danke und liebe Grüße
  ─   benitodilorenzo 15.02.2021 um 08:23

Hier habe ich beispielsweise mal eine Berechnung aus dem Skript aufgegriffen bei deren Interpretation ich zum Verständnis Hilfe bräuchte:

Hier mal eine Tabelle mit Werten:
https://benjamindilorenzo.de/wp-content/uploads/2021/02/beautifulltable.jpg

So und nun die damit korrespondierende Berechnung:

\( E[X] = 0( \frac{1}{3}) + 1( \frac{1}{3}) + 2( \frac{1}{3}) = 1 \)
sowie
\( E[Y] = 0( \frac{2}{3}) + 1( \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} \)

Und daraus folgend nun der Teil der Berechnung welchen ich nicht nachvollziehen kann:
\( E[XY] = 0( \frac{1}{3} + 0 + 0 + \frac{1}{3}) + 1( \frac{1}{3}) + 2(0) = \frac{1}{3} \)

Woher kommen hierbei die Werte? Wo in der Tabelle finde ich hier die korrespondierenden Werte?

Liebe Grüße
  ─   benitodilorenzo 15.02.2021 um 10:04

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Die Tabelle ist so aufgebaut:
\(\begin{matrix}&0&1&2\\
0&P(X=0,Y=0)&P(X=1,Y=0)&P(X=2,Y=0)&P(Y=0)\\
1&P(X=0,Y=1)&P(X=1,Y=1)&P(X=2,Y=1)&P(Y=1)\\
&P(X=0)&P(X=1)&P(X=2)\end{matrix}\)

Nun kannst du \(E(X)=0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)\)

weiter gilt:
\(P(XY=0)=P(X=0, Y=0)+ P(X=0,Y=1)+P(X=1, Y=0)\) (Satz vom Nullprodukt)
\(P(XY=1)=P(X=1,Y=1)\) und
\(P(XY=2)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)\)

\(E(XY)=0\cdot P(XY=0)+1\cdot P(XY=1)+2\cdot P(XY=2)\)
  ─   holly 15.02.2021 um 20:09

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Den Beweis von der anderen Darstellung der Kovarianz findest du unter dem Verschiebungssatz hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Kovarianz_(Stochastik)   ─   cauchy 15.02.2021 um 20:35

holly vielen vielen Dank für deine Mühe! Ich habs verstanden. Es gibt also vier Fälle in welchen einer der Variablen Null ist und das kommt eben an "nullter" Stelle. Deshalb der Satz vom Nullprodukt.
Dann gibt es einen Fall an welchem die Zufallsvariable X den Wert 1/3 annimmt und davon wieder nur eine Ausführung da sonst Y = 0
Und in den Fällen in welchen X = 2 gibt es wiederrum nur einen Fall in welchem das Produkt ungleich Null ist, hier ist jedoch die Wahrscheinlichkeit gleich Null (wie in der Tabelle so definiert, warum auch immer).
Ich verstehe, danke :)

Das einzigste was ich nicht verstehe ist der Fall \( P(XY=2)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1) \) oder ist das nur formell ausgeschrieben?
Da Y ja nicht 2 werden kann,

Wäre dies dann formell korrekt anzunehmen das für den Fall Y = 2 eben 0 gilt? also 0 + 1/3 da P(X = 1, Y = 2) = 0 und P(X=2, Y = 1) = 1/3 ?
  ─   benitodilorenzo 15.02.2021 um 21:31

cauchy vielen Dank für deine Hilfe!   ─   benitodilorenzo 15.02.2021 um 21:32

Naja, das Produkt \(XY\) ist eben genau dann 2, wenn \(X=1\) und \(Y=2\) oder andersrum. Und ja, der erste Fall hat die Wahrscheinlichkeit 0, da \(Y\) nicht 2 werden kann.   ─   cauchy 15.02.2021 um 21:36

Es bleibt mir nun nur noch eine Frage: Wie kann ich aus einer gegebenen Verteilung bzw. Dichtefunktion nun E[XY] berechnen?

Also hier das Beispiel aus meinem Skript:

\( f_{X,Y}(x,y)= \frac{1}{3}(4x+2y) \text{ mit } 0<=x<=1 \text{ und } 0<=y<=1 \text{ und 0 sonst}\)
ich weiß ja nun wie ich E[X] berechne und E[Y] diese sind in obigen Beispiel \( E[X] = \frac{11}{18} \) und \( E[Y] = \frac{5}{9} \)
Wie berechne ich nun aber E[XY] aus dieser Funktion heraus?
Ich möchte ja eben gerade nicht 11/18 * 5/9 rechnen sondern eine Version welche auch funktioniert wenn die Variablen abhängig sind/seien.

Herzliche Grüße
Benjamin
  ─   benitodilorenzo 15.02.2021 um 23:17

Mit der Definition des Erwartungswerts. Du hast doch die Dichte von \(XY\) anscheinend schon gegeben.   ─   cauchy 15.02.2021 um 23:25

ich habe die Dichte \( f_Y(y) \) und \( f_X(x) \) Aber ich verstehe gerade überhaupt nicht mehr wie ich dann E[XY] berechne?

Multipliziere ich \( f_Y(y) f_X(x) \) miteinander? Aber wie integriere ich dann? Nach welcher Variable? Und mit welcher Variable?

Ich verstehe es nicht tut mir leid.


In meinem Skript wird einfach nur anhand von \( f_Y(y) \) sowie \( f_X(x) \) jeweils der Erwartungswert E[Y] und E[X] ausgerechnet.

Dann ist noch die Formel gegeben:

\( E[g(X,Y)]=\int_{R^2}g(x,y)f_{X,Y}(x,y)dA \)
Ich habe aber ehrlich gesagt keine Ahnung wie ich das Lösen/integrieren kann?
Es ist auch kein Beispiel angegeben.
Und ich habe auch keine Ahnung was in diesem Fall g(x,y) ist.

  ─   benitodilorenzo 15.02.2021 um 23:41

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Das haben wir doch in deiner anderen Frage schon geklärt gehabt, wie man das löst bzw. berechnet. Und es ist natürlich \(g(X,Y)=XY\), da du ja \(\mathbb{E}[XY]\) berechnen willst. Multiplizieren kannst du die Dichten nur, wenn \(X\) und \(Y\) stochastisch unabhängig sind. Sonst nicht. Und dass man \(\mathbb{E}[X]\) bzw. \(\mathbb{E}[Y]\) mit \(f_X(x)\) und \(f_Y(y)\) berechnet ist doch auch völlig klar. Ist ja gerade beim Erwartungswert so definiert.   ─   cauchy 15.02.2021 um 23:48

okay, wie holly sagte, es sollte dann die Cov(X,Y) gegeben sein da man eben nicht riechen kann, wie stark die Variablen korrellieren oder eben nicht.
Cov(X,Y) ist aber nicht gegeben.

Und wenn ich jetzt die beiden Dichten miteinander multipliziere, mit was multipliziere ich diese dann im Sinne von g(x,y)?? Was IST g(x,y)? Multipliziere ich demnach erstmal die beiden Dichtefunktionen miteinander und dann das ganze Paket nochmals mit sowohl der Variable x als auch der Variable y da sonst keine weitere Definition einer (komplexeren) Funktion für g(x,y) gegeben ist? so ganz freestyler-mößig?

  ─   benitodilorenzo 15.02.2021 um 23:53

Es kann sein, dass ich falsch lag, wenn der Satz mit dem Erwartungswert einer Funktion gilt, ohne dass die Unabhängigkeit gelten muss, hat cauchy Recht und es ist simpel mit g(x,y)=xy.   ─   holly 15.02.2021 um 23:55

Das gilt auch ohne Unabhängigkeit, den Satz nennt man auch LOTUS
https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_the_unconscious_statistician
  ─   holly 16.02.2021 um 00:04

Okay jetzt mal am Beispiel:

Ich habe also \( f_{X,Y}(x,y)= \frac{1}{3}(4x+2y) \text{ mit } 0<=x<=1 \text{ und } 0<=y<=1 \text{ und 0 sonst} \)
Davon ist \( f_X(x)= \frac{4x+1}{3} \) sowie \( f_Y(y)= \frac{2y+2}{3} \)
Nun also \( E[g(X,Y)]=\int_{R^2}g(x,y)f_{X,Y}(x,y)dA \)
\( E[g(X,Y)]=\int_{R^2}g(x,y) \frac{4x+1}{3}*\frac{2y+2}{3}dA \)

soweit kann ich denken. Wie würde ich jetzt mit \( g(x,y) \) multiplizieren?
Wie würde das aussehen?

Einfach an beide Dichtefunktionen \( f_X(x)= \frac{4x+1}{3} \) und \( f_Y(y)= \frac{2y+2}{3} \) jeweils ein x und ein y dranklatschen?

:)
  ─   benitodilorenzo 16.02.2021 um 00:13

Wofür willst du die Kovarianz haben? Wozu willst du die beiden Dichten miteinander multiplizieren und wofür willst du wissen, was \(g(x,y)\) ist? Ist \(f_{X,Y}(x,y)\) die Dichte von \(XY\)? Wenn ja, dann hast du doch schon alles, was du brauchst um den Erwartungswert zu berechnen.   ─   cauchy 16.02.2021 um 00:15

Nein. Es gilt nicht \(f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\). Deswegen ist bereits deine erste Schlussfolgerung falsch. Ich verstehe aber immer noch nicht, was du vorhast. Wenn \(f_{X,Y}(x,y)\) die Dichte von \(XY\) ist, dann musst du nur \(\mathbb{E}[XY]=\iint\! xyf_{X,Y}(x,y)\ \mathrm{d}x\mathrm{dy}\) (Definition vom E-Wert) berechnen und \(f_{X,Y}(x,y)\) hast du gegeben. Deswegen verstehe ich nicht, was du mit den ganzen anderen Sachen willst.   ─   cauchy 16.02.2021 um 00:18

Oder nochmal mit anderen Worten: Wenn ich E[X] finden will kann ich ja Fubinis Theorem nutzen:
\( E[X] = \int_0^1\int_0^1 \frac{x}{3}(4x+2y)dydx \) oder eben
\( E[Y] = \int_0^1\int_0^1 \frac{y}{3}(4x+2y)dxdy \) richtig?

Also ich drehe einfach die Reihenfolge der Integration um.

In den Zwischenschritten hier kommen jeweils die Randdichten heraus \( f_X(x)= \frac{4x+1}{3} \) und \( f_Y(y)= \frac{2y+2}{3} \)

So wie unterscheidet sich nun dieses vorgehen von \( E[g(X,Y)]=\int_{R^2}g(x,y)f_{X,Y}(x,y)dA \) ???

Das ist es wo ich hänge?

WIE kann ich vorgehen beim LOTUS? Hoffentlich nicht wie der POTUS ^^
  ─   benitodilorenzo 16.02.2021 um 00:21

Nein, auch falsch. Beim Berechnen des E-Wertes einer eindimensionalen ZV hast du nur ein Integral und kein Doppelintegral.

Das Vorgehen unterscheidet sich null. Du verstehst nur anscheinend einfach die Definition des Erwartungswertes nicht. In den ersten beiden Fällen hast du eindimensionale ZV, also ein einfaches Integral. Im zweiten Fall hast du eine zweidimensionale ZV, also ein Doppelintegral, was du dann einfach mit Fubini ausrechnen kannst.
  ─   cauchy 16.02.2021 um 00:22

https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert#Erwartungswert_von_zwei_Zufallsvariablen_mit_gemeinsamer_Dichtefunktion

Vielleicht hilft das weiter.
  ─   cauchy 16.02.2021 um 00:26

ist aber eine mehrdimensionale Zufallsvariable wegen x,y.

Also dann wäre bezogen auf obiges Beispiel folgendes:
\( E[g(X,Y)]=\int_{R^2}g(x,y)f_{X,Y}(x,y)dA \)

demnach
\( \int_0^1 \int_0^1 xy *\frac{4x+2y}{3} dxdy\) ?
  ─   benitodilorenzo 16.02.2021 um 00:26

Genau. Und das kannst du mit Fubini ausrechnen.   ─   cauchy 16.02.2021 um 00:27

Top hat funktioniert. Danke :)   ─   benitodilorenzo 16.02.2021 um 02:10

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Du denkst einfach wieder zu kompliziert. Gegeben seien zwei Zufallsvariablen \(X\) und \(Y\). Dann kann man eine weitere Zufallsvariable \(Z=XY\) definieren, die sich zusammensetzt aus dem Produkt von \(X\) und \(Y\). Für diese Zufallsvariable \(Z\) gibt es dann dieselben Kenngrößen wie für alle anderen Zufallsvariablen auch, das heißt Erwartungswert \(\mathbb{E}(Z)\), Varianz \(\mathrm{Var}(Z)\) usw. Ebenso kann man für \(Z\) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung aufstellen, die sich aus \(X\) und \(Y\) zusammensetzt. 

Das was du da gemacht hast, geht in die richtige Richtung, ist aber noch nicht vollständig. Du berechnest dort ja nur alle möglichen Wahrscheinlichkeiten, die herauskommen können und da kann ich dir jetzt schon sagen, dass in Summe 1 rauskommt (warum ist das wohl so?). Der Erwartungswert bei diskreten Zufallsvariablen ist jedoch definiert als die Summe der Werte die auftreten können, gewichtet mit ihrer Wahrscheinlichkeit. Stelle also zunächst die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf. Die ZV \(Z\) kann alle Werte von 0 bis 6 annehmen. Jetzt überlege dir, wie wahrscheinlich diese jeweils sind. Beispielsweise gilt \(P(Z=0)=\frac{1}{2}\), da \(Z\) nur 0 werden kann, wenn \(Y\) Null ist. Das ist aber mit einer Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{2}\) der Fall. 

Nunja, welche Bedeutung hat \(\mathbb{E}(Z)=\mathbb{E}(XY)\) nun? Naja, genau dieselbe Bedeutung wie der Erwartungswert eben für andere ZV hat. Die Gleichung \(\mathbb{E}(XY)=\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)\) gilt übrigens nur dann, wenn \(X\) und \(Y\) stochastisch unabhängig sind.

Quellen gibt es genug: Ein gutes Lehrbuch. Das ist als Ergänzung zum Skript sowieso immer sehr sinnvoll, insbesondere dann, wenn solche grundlegenden Dinge nicht gezeigt werden, wie es in den meisten Studiengängen außer Mathematik selbst, der Fall ist. Dort werden die Resultate häufig nur ins Skript geklatscht. Gerade dann und vor allem, wenn man diese Dinge nachvollziehen möchte, sollte man sich nebenbei immer mindestens ein gutes Buch besorgen. Literaturhinweise werden in den meisten Vorlesungen sogar bekanntgegeben.
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Haha "hingeklatscht" ist leider treffend wie die Fliege auf der Autoscheibe....
Gut ich versuche mir immer noch zu verdeutlichen wie ich diese Überlegungen nun formal aufschreiben kann? Also wie bekomme ich den gemeinsamen Erwartungswert?

Bei einem Würfel gilt ja 0* 1/6 + 1 * 1/6 + 2* 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6* 1/6 = 3,5 <--- Interpretation hier: Im "Durchschnitt" (im arithmetischen Mittel) ergibt sich ein "Wert" von 3,5. Im Sinne von Würfen natürlich unsinn, wenn ich jedoch die Augenzahlen an beispielsweise eine Auszahlung in Euro koppeln würde, wäre dies der zu erwartende Gewinn.

Das gleiche gilt ja für den Münzwürf. Hier sollte der Wert een 0,5 sein.

Wie verbindet sich aber nun beides? heißt dies 0,5*3,5 = 1,75?

Und wie kann ich dies im Sinne von \( E[XY] = [g(x)f(y)] = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} g(x)h(y)f(x,y)dxdy \) nun bezogen auf mein Beispiel formel korrekt den Erwartungswert E[XY] finden.
Ich frage deshalb weil ich das Muster gerne verinnerlichen würde um dieses dann auch auf komplexere Beispiele anwenden zu können bei welchen ich eben nicht einfach ohne die formelle Version ausrechnen kann welcher Wert herauskommt.

Mir fehlt gerade ein wenig die Inspiration mir vorzustellen wie das ganze ausgeschrieben aussieht.



Danke schonmal und beste Grüße
Benjamin
  ─   benitodilorenzo 14.02.2021 um 20:28

Mit anderen Worten: Ich verstehe nicht, was Unterschied ist, zwischen E[XY] und E[X]E[Y] ??? In welchen fällen gleichen sich diese und ich welchen nicht? Und wie sieht das ganze formell aus (beispielhaft)??
Dazu habe ich einfach kein Bild und finde auch keine Erklärung die diese Unterscheidung macht.

Ich finde imme rnur Erklärungen welche zeigen, das in MANCHEN Fällen eben Unabhängigkeit besteht und in anderen nicht.

Hier ein Beispiel für eine typische Erklärung:

https://www.stat.cmu.edu/~cshalizi/uADA/12/reminders/uncorrelated-vs-independent.pdf


Inwiefern aber nun E[XY] anders formell erreicht werden KANN als durch die Multiplikation von E[X] und E[Y] verstehe ich eben nicht. Für mich ist E[XY] das gleiche wie E[X]E[Y] auch wegen der Linearität.

Oder wie?
  ─   benitodilorenzo 14.02.2021 um 21:07

Das ist aber keine Linearität. Wende einfach die Definition des Erwartungswertes an (der hier übrigens für die stetigen ZV gilt, deine Beispiele sind jedoch diskret). In dem Link siehst du auch den Beweis für die Gleichung, wenn die ZV unabhängig sind (Gleichungen 7-11). Diese Formel, die du oben angegeben hast, passt aber nicht zu deinem Beispiel, da es diskrete ZV sind und keine stetigen. Wie man das rechnet, siehst du in der Antwort von holly. Die ZV sind unabhängig, also berechnest du das eben über die Identität \(\mathbb{E}(EX)=\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)\), da man die Erwartungswerte von \(X\) und \(Y\) leicht berechnen kann. Andernfalls macht man es eben über die Dichte mit Hilfe der Definition. Wenn die ZV nicht unabhängig sind, benutzt du einfach Gleichung 7 aus dem Link, denn das ist einfach nur die Definition des Erwartungswertes.   ─   cauchy 14.02.2021 um 21:38

Was ich mich noch frage bzüglich E[XY]: Wenn E[X] und E[Y] einen Punkt bilden, im Falle von zwei Zufallsvariablen X und Y, wie wäre dieser Punkt geometrisch zu interpretieren? Als Schwerpunkt?
Die Erwartungswerte sind ja jeweils Linien in einem 3D Modell. Im Punkt E[X] und E[Y] schneiden sich diese Linien.

Was ist dann E[XY]?

Und wenn eben E[XY] = E[X]E[Y] nur für unabhängige Variablen gilt, wie berechne ich dann die abhängige Version.

Ich verzweifle langsam ein wenig, da ich wirklich einige Fragen haben und keine Quellen die das beantworten.

Alle Quellen sehen genau gleich aus und beschreiben mir nur was ich hier schon beschreibe.

Leider keine Erklärungen dazu.


Wer weiß mehr?


Liebe Grüße
Benjamin
  ─   benitodilorenzo 15.02.2021 um 19:28

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