Reihe Monotonie und Beschränktheit

Aufrufe: 137     Aktiv: 15.06.2022 um 18:19

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Hallo, ich habe die Reihe (bn)= Σ (1/k^2) gegeben (die Summe geht von 1 bis n). 
Ich soll hier nun angeben, ob die Reihe monoton wachsen und beschränkt ist. Für die Monotonie bin ich so vorgegangen:
für monoton steigend würde gelten, dass an kleiner gleich an+1 ist. Also kann ich auch umformen und schreiben: an+1/an > 0. Das gilt, weil (1/1 + 1/2 + ... + 1/n + 1/(n+1))/(1/1 + 1/2 + ... + 1/n) sich zu 1/(n+1) kürzt, was aufgrund der Tatsache, dass n eine natürliche Zahl sein muss, immer größer als 0 ist. Somit ist die Reihe monoton steigend.

Zur Beschränktheit: Ich möchte hier gerne beweisen, dass die Reihe eine obere Schranke hat. Ich vermute, dass es die obere Schranke 2 gibt, also (an) < S. Wie kann ich das nun rechnerisch beweisen?
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Deine Reihe heißt $b_n$, nicht $a_n$.
Monotonie: Es ist sinnvoll, mit der einfachsten Idee anzufangen. Erst wann das nicht klappt, zu schwierigeren zu greifen. Hier ist das einfachste $b_{n+1}\ge b_n$ nachzuweisen.
Beschränktheit: Benutze $\frac1{k^2}\le \frac1{k(k-1)}$ für $k\ge 2$. Das führt zu einer Teleskopsumme, deren Grenzwert schnell klar wird (Aufteilen des Bruchs (Partialbruchzerlegung) -> zwei Summen -> gegeneinander verrechnen).
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