Linearfaktoren Zerlegung Polynom n > 3

Aufrufe: 70     Aktiv: 15.03.2021 um 13:25

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Weiß jemand, wie eine Polynomfunktion n.te Grades, wobei n > 3 zu lösen ist (Habe ein Video gesehen, das es für n = 3 gezeigt hat), wo man dann einfacherweise das Faktorpolynom mit Grad 2 herausrechnet und die Mitternachtsformel anwendet. Die Frage, die sich mir stellt ist, ob es möglich ist auch Polynome von Grad > 3 abzuspalten und die restlichen NS mithilfe einer gegeben NS herauszurechnen, bzw. ob es immer notwendig ist bei einem Polynom n >= 3 zumindest eine NS zu kennen, um die Linearfaktoren zu bilden.

Außerdem bin ich mir ebenfalls nicht ganz sicher: Wenn p(x):= eine Darstellung hat, ist die einzige Linearfaktorendarstellung jene, die die Nullstellen repräsentiert, und warum? z.B. 2*x^(2) - 2*x - 12 <=> (2)*((x-3)*(x+2)) <=> noch eine Darstellung? Die Idee dahinter scheint mir momentan noch nicht ganz logisch :/

Vielen Dank :-)
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2 Antworten
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Für Polynome höheren Grades gibt es keine expliziten Lösungsformeln mehr. Die für Grad 3 ist bereits verdammt kompliziert und merkt sich auch kein Mensch. 

Sobald man Nullstellen kennt, kann man diese als Linearfaktoren aber immer ohne weiteres abspalten und mittels Polynomdivision oder Horner-Schema den restlichen Faktor von einem Grad weniger berechnen. 

Die Linearfaktorzerlegung ist eindeutig. Ich weiß also nicht, wie du darauf kommst, dass dein Beispiel eine weitere Darstellung ist. Es kann jedoch unterschiedliche Polynome mit denselben Nullstellen geben. Dann unterscheiden sich die Polynome lediglich durch einen Faktor, der dann eben auch in der Linearfaktorzerlegung vorkommt. Ist nämlich \(q(x)=\lambda p(x)\) und \(x\) eine Nullstelle von \(p\), dann ist \(x\) ebenso Nullstelle von \(q\).
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Danke :)   ─   sven03 15.03.2021 um 12:20

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Eine andere Darstellung deiner Beispielfunktion \(f(x)=2x^2 -2x-12 \text { ist } 2(x^2 -x-6) \text { oder } 2((x-0,5)^2 -{25 \over 4}) \text (Scheitelpunktform)\)
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Danke :) Ist es in irgendeiner Weise feststellbar, wie viele Darstellungsformen es für ein Polynom gibt. Denn Theoretisch gäbe es ja bei quadratischen die polynomielle Form, die Scheitelpunktform und die Linearfaktorenzerlegung?   ─   sven03 15.03.2021 um 12:21

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kommt drauf an, was man zu den Darstellungsformen zählt. Man könnte auch das Ausklammern dazuzählen .
Auch sonst hat man viele Freiheiten so kann man 3 dazuzählen und 8-5 wieder abzeihen. Hauptsache die Gleichheitsrelation bleibt erhalten.
  ─   scotchwhisky 15.03.2021 um 12:39

Ok Danke :) Bei 2 Antworten möchte ich mich für keine "beste" entscheiden, sonst ist einer von euch ev. ein wenig sauer auf mich, das ist meine Konvention :D Auf jeden Fall vielen, vielen Dank :)   ─   sven03 15.03.2021 um 13:25

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