Wie bereits in der Frage steht, beschäftige ich mich der Zeit mit dem Beweis der Ableitung von Sinus und Cosinus. Wir hatten gerade im Unterricht das Thema, dort wurde jedoch lediglich gesagt, dass die Ableitung von Sinus Cosinus ist und die Ableitung von Cosinus wiederum der negative Sinus. 

Mein Ansatz:

\( \frac {d} {dx} sinx = \lim \limits_{h \to 0} \frac {\sin{(x+h)}-\sin x} {h}   \)

\(= \lim \limits_{h \to 0} \frac {\sin{x} \cdot \cos{h}+ \cos x \cdot \sin h - \sin x} {h}   \)

\(=  \lim \limits_{h \to 0} \sin x (\frac {\cos h - 1} {h}) + \cos x (\frac {\sin h} {h}) \) 

Ich weiß jetzt aus dem Unterricht, dass am Ende Cosinus rauskommen soll, also muss gelten:

\(=  \lim \limits_{h \to 0} \frac {\cos h - 1} {h} = 0\)

\(=  \lim \limits_{h \to 0} \frac {\sin h } {h} = 1\)

Mein Problem:

Wie beweise ich nun die obigen Grentzwerte, beide werden ebenfalls für den Beweis von der Ableitung von Cosinus benutzt.

Ich weiß, dass beide Grenzwerte \( \frac {0}{0} \) ergeben, meine erste Idee war die Regel von L'Hospital, diese ist ja genau für derartige Grenzwerte geeignet, dafür benötige ich aber die Ableitung von Sinus bzw. Cosinus, diese habe ich aber reintheoretisch nicht.

Meine zweite Idee war die Taylorentwicklung, also in meinem Fall mit dem Grenzwert gegen 0, die MacLaurin Reihe, aber auch für diese wird eine Ableitung von Sinus oder Cosinus genutzt. 

Frage:

Gibt es dafür eine Methode um diesen Grenzwert zu bestimmen, welcher nicht die Ableitung voraussetzt oder ist das ähnlich wie bei einer Mengen Inklusion wo ich erst beweise, dass etwas in die eine Richtung funktioniert und dann in die andere?

Bitte keine Antworten wie zum Beispiel: "Das verstehst du als Schüler nicht". Ich würde von mir selbst behaupten, dass ich über ein gutes Fachwissen im Bereich der Mathematik besitze. 

Danke schoneinmal im Voraus.