Wie kann man die polstellen und nullstellen berechnen ?

Aufrufe: 630     Aktiv: 10.01.2021 um 12:37
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\( \frac{x^{4} - 3x^{3}-7x{2}+27x-18} {x^{3} + x^{2} -4x-4}\)

wie kann man die Nulstellen berechnen ?

ich kann nicht pq-formel,abc,satz von vieta ..was kann man machen ?

kann man die pollstelle und nullstelle von zähler und nenner allein rechnen oder muss man polynumdivision machen und die null und polstellen berechnen ?

wenn man polynumdivision macht und dann die nullstelln berechnet .. kann man nicht wissen was die nullstellen von nuenner und was von zähler sind -> kann man nicht wissen was polstellen und was nullstellen sind..ws sollte man machen?

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2 Antworten
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Du berechnest zunächst alle Nullstellen des Nenners.

Da diese alle ganzzahlig sind, würde ich dir empfehlen eine Nullstelle im Nenner zu erraten, dann für das Polynom im Nenner ein Polynomdivision durchzuführen und für das daraus erhaltene Polynom mit Hilfe der \(p\)-\(q\)-Formel die anderen Beiden Nullstellen des Nenners zu berechnen. 

Dann setzt du alle deine Nullstellen im Zähler ein. Kommt im Zähler ein Wert \(\neq 0\) heraus, handelt es sich an Stelle um eine Polstelle. Kommt allerdings im Zähler Null heraus, hättest du ja mit "\(\dfrac{0}{0}\)" eine hebbare Lücke. Dann musst du für dieses \(x\) auch noch eine Polynomdivision im Zähler durchführen, um die hebbare Lücke zu berechnen.

Ich würde also nur dann am Zähler einer Polynomdivision mit einer Nullstelle des Nenners durchführen, falls du keine Polstelle hast.

 

Hoffe das hilft dir weiter.

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@mikn danke ja du hast natürlich recht, auf die Vielfachheiten muss geachtet werden .... in diesem Beispiel sollte es dazu allerdings nicht zu Problemen kommen .... Sollte dies aber der Fall sein, müsste einem aber dann auch auffallen (für den Fall das der Nenner eine Nullstelle mit Vielfachheit 2 oder höher hat), dass man beim ausrechnen des \(y\)-Werts für die vermeidlich gehobene Lücke wieder auf einen Term kommt, wo der Zähler \(\neq 0\) aber der Nenner \(=0\) wird und es sich somit doch um eine Polstelle handeln muss   ─   maqu 09.01.2021 um 14:52
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sorry,aber nicht verstanden was du genau meinst   ─   adamk 09.01.2021 um 18:10
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danke auf jedenfall   ─   adamk 09.01.2021 um 18:10
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ich meine die Antwort ..   ─   adamk 09.01.2021 um 18:34
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@adamk hast du meine Antwort nicht verstanden? Hast du denn schon einmal eine polynomdivision gemacht? Kannst du denn eine Nullstellen im Nenner erkennen?   ─   maqu 09.01.2021 um 18:36
@maqu.. ich kenne polynumdivision sehr gut und auch nullstellen bestimmen auch,die Aufgabe aber verwirrend 🤷‍♀️   ─   adamk 09.01.2021 um 19:25
@maqu .. also deine Antworten sind immer super....das Problem ist nicht von deiner Antwort sondern von mir ..meine Mathegrundlagen sind schwach ...   ─   adamk 09.01.2021 um 19:28
ok dann bestimme doch einfach mal die Nullstellen im Nenner (mit Polynomdivision und p-q-Formel) .... dann erhälst du \(x_1,x_2\) und \(x_3\). Für jedes dieser \(x_i\) (\(i=1,2,3\)) prüfst du nun, ob diese auch Nullstellen des Zählers sind. Dabei unterscheidet man wie folgt:
(1) \(N(x_i)=0\) und \(Z(x_i)\neq 0 \quad \Longrightarrow \quad x_i\) Polstelle
(2) \(N(x_i)=0\) und \(Z(x_i)=0 \quad \Longrightarrow \quad x_i\) "wahrscheinlich" hebere Lücke (siehe die Ergänzung von @mikn)
Dabei steht \(N(x)\) für Nennerfunktion und \(Z(x)\) für Zählerfunktion.
Da bei einer Polstelle lediglich die Angabe des entsprechenden \(x_i\) ausreicht, musst du bei einer Lücke den Punkt der Lücke angeben, also mit \(y\)-Wert. Da du aber sowohl im Zähler als auch im Nenner eine Null erhälst, wenn du da entsprechende \(x_i\) einsetzt, musst du die "Nullstelle kürzen". Dafür musst du dann für dieses \(x_i\) auch eine Polynomdivision im Zähler durchführen, damit du weist wie du kürzen kannst (also \(x^4-3x^3-7x^2+27x-18=(.......)\cdot (x-x_i)\))
Jetzt klarer, was ich meine?   ─   maqu 09.01.2021 um 19:41
wie kann man die nullstellen von nenner(mit hilfe von polynumdivisionund p-q formel) bestiemmen?
also polynum division ist für 2 polynume und unten in nenner steht nur ein polynum und p-q formel kann man nur für quadratische gleichung anwenden und unten im Nenner steht gleichung 3 Grades..? @maqu   ─   adamk 10.01.2021 um 02:27
Na sagen dir linearfaktoren etwas? Wenn \(N(x)\) eine Nullstellen in \(x_i\) hat, dann bildet man den Linearfaktor \((x-x_i)\), welcher ja selbst ein lineares Polynom ist. Durch diesen Linearfaktor teilt man dann sein Ausgangspolynom. Dafür musst du dir allerdings erstmal eine Nullstelle „erraten“. Dafür setzt man für gewöhnlich ein paar einfache ganze Zahlen ein \(1;-1;2;-2;3;-3;\ldots\), oder auch manchmal \(0,5;-0,5;1,5;-1,5;\ldots \), falls die Nullstellen rational sind. In deinem Beispiel wirst du damit schnell feststellen, dass bei \(x_1=2\) im Nenner eine Nullstellen ist. Nun bildest du den Linearfaktor \((x-2)\) und rechnest nun:
\((x^3+x^2-4x-4):(x-2)\)
Das daraus erhaltene Polynom ist dann quadratisch und dann kannst p-q-Formel anwenden. Von hier Versuch es erstmal allein weiter und sag beschreit wenn du nicht weiter kommst.   ─   maqu 10.01.2021 um 09:06

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