Wie beweist man, dass die Wurzel von 1 1 ist?

Erste Frage Aufrufe: 61     Aktiv: 04.01.2022 um 08:09

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Wie oben lesbar habe ich mir die Frage gestellt, wie man etwas so elementares Beweisen kann. Vielen Dank wer sich die Zeit nimmt.
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Ich weiß nicht, was deine Vorkenntnisse sind aber falls dich interessiert, "warum" die Definition so ist, wie sie ist, ist vielleicht folgende Perspektive interessant (oder auch nicht): 
 
Die (Quadrat)wurzel $\sqrt{\cdot}$ ist die auf $\mathbb R_0^+ =\{ x\in \mathbb R\mid x \ge 0\}$ definierte Umkehrfunktion der Funktion $$q\colon \mathbb R_0^+ \to \mathbb R_0^+,\ x\mapsto x^2$$
 
Mal angenommen man würde den Operator $\sqrt{\cdot}$ noch nicht kennen, so kann man sich überlegen, wann die obige Funktion $q$ eine Umkehrfunktion besitzt. Denn für gewöhnlich betrachtet man $x \mapsto x^2$ auf ganz $\mathbb R$, d.h. man betrachtet $$q\colon \mathbb R\to \mathbb R,\ x\mapsto x^2$$
 
Die Funktion ist allerdings weder injektiv auf dem Definitionsbereich $\mathbb R$ noch surjektiv, das heißt wir finden erstmal (noch) keinen zu $x^2$ inversen Operator. Durch Einschränkung von Definitions und Zielbereich auf $\mathbb R_+^0$ wird $q$ bijektiv, was äquivalent dazu ist, dass ein eindeutig bestimmtes Inverses $q^{-1}\colon \mathbb R_0^+ \to \mathbb R_0^+$ existiert, so dass gilt: 
 
$$ q(q^{-1}(y)) = y\ \text{und}\ q^{-1}(q(x)) = x $$
 
Naja und dieses $q^{-1}$ können wir jetzt $\sqrt{\cdot}$ nennen. Und somit $$q\left(\sqrt{y}\right) = y\ \text{und}\ \sqrt{q(x)} = x\quad (*)$$ Und weil wir wissen, dass $q(1) = 1^2 = 1$ ist, folgt mit $(*)$, dass: $$1 \stackrel{(*)}{=} \sqrt{q(1)} = \sqrt{1^2} = \sqrt{1}.$$
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Das geht einfach mit der Definition der Wurzel. Die $n$-te Wurzel ist definiert als die positive Lösung der Gleichung $x^n=a$. Für $n=2$ und $a=1$, erhält man sofort $x=1$ (sogar für alle $n$).

Jetzt hängt es davon ab, über welche Vorkenntnisse du verfügst, um hier weiter ins Detail zu gehen.
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