Per Induktion zeigen

Erste Frage Aufrufe: 61     Aktiv: 18.08.2021 um 19:23

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Die Aufgabe ist es, per vollständiger Induktion zu zeigen, dass Die Summe von k=1 bis 2^n 1/k größer gleich 1+ n/2 ist
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Kennst du die Schritte? Was davon hast du schon? Wo kommst du nicht weiter?   ─   monimust 18.08.2021 um 12:50
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Hallo Also ich versuche dir mal die wesentlichen Schritte und Ideen zu geben, damit du die Aufgabe aber noch alleine lösen kannst. Wenn du irgendwo nicht weiterkommst können wir dann gerne darüber diskutieren. Zu zeigen: \(\sum_{k=1}^{2^n} \frac{1}{k}\geq 1+\frac{n}{2}\) Nun solltest du folgendes Schema verwenden: Schritt 1: Induktionsanfang "Ich möchte zeigen dass die Aussage für \(n_0=1\) gilt" Dann setzt du \(n=n_0\) und schaust ob beide Seiten der Gleichung das selbe ergeben Schritt 2: Induktionsannahme "Ich nehme an, dass die Aussage für ein beliebiges \(n\ge n_0\) gilt und möchte zeigen dass sie auch für \(n+1\) gilt. Sei also \(n\ge n_0\) dann gilt aus der Annahme dass \(\sum_{k=1}^{2^n} \frac{1}{k}\geq 1+\frac{n}{2}\). Wir möchten nun zeigen dass \(\sum_{k=1}^{2^{(n+1)}} \frac{1}{k}\stackrel{?}{\geq} 1+\frac{n+1}{2}\)." Schritt 3: Beweis Hier nimmst du eine der beiden Seiten der Ungleichung, ich würde die linke nehmen und versuchts sie so nach oben abzuschätzen dass du deine gesuchte rechte Seite bekommst. Beachte dabei dass du irgendwo die Induktionsannahme verwendest, denn sonst funktioniert das Prinzip der Induktion nicht. Schritt 4: Induktionsschluss Aus dem Prinzip der Induktion folgt nun, dass die Aussage \(\forall n\geq 1\) gilt. Ich hoffe das hilft so, habe dir im Beweis extra nichts vorgerechnet, denn das ist der schwierigste und aufwändigste Teil. Der Rest ist mehr oder weniger reine Formalität. Die einen machen es ein wenig genauer die anderen weniger. Wenn du aber gerade begonnen hast mit dem Thema oder noch in den Anfangssemestern bist, würde ich dir vorschlagen alles genau zu machen, auch wenn gewisse Schritte logisch erscheinen.
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Induktionsschritt:
\(\sum_{k=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}=\sum_{k=1}^{2^{n}}\frac{1}{k}+\sum_{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}\geq1+\frac{n}{2}+\sum_{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}\)
jetzt musst du noch zeigen, dass \(\sum_{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}\geq \frac{1}{2}\)
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