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Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter. Bitte um Hilfe.

a, b und c seien ganze Zahlen mit ggt(a,b)=1. Wenn a und b Teiler von c sind, so teilt auch das Produkt ab die Zahl c. - Beweis! (Gehen Sie wie folgt vor: Da ggt(a,b)=1 gilt, findet man x und y aus den ganzen Zahlen mit ax+by=1. Damit folgt...)


Was ich bisher hab.
Wenn ich den Satz von oben fortsetzte, also "Damit folgt...", dann hätte ich jetzt mal gesagt das aus ax+by=1 acx + bcy = c folgt, nicht?

Aber wie gehe ich jetzt dann vor, das ich am Ende dann ab|c erhalte? Ich muss ja am ende ab|c erhalten oder?
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Vorschlag:

Zeige, dass \(ab\) ein \(kgV\) von \(a\) und \(b\) ist. Dazu benutzt du \(ggT(a,b)=1\).

Ein \(kgV\) teilt alle anderen gemeinsamen Vielfachen, also auch \(c\).
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Dein erster Schritt ist gut, aber nun weiter. Da a und b Teiler von c sind, gibt es k, l mit c=ak=bl (der Schritt ist klar, weil ja die Voraussetzung eingebracht werden muss). Nun die Bausteine zusammenbringen, so dass man den Teiler ab in c erkennt.
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Lehrer/Professor, Punkte: 21.09K

 

Ok, also ich bin dann so vorgegangen, ich wusste zuerst nicht was du mit k und l meinst, aber ich denke du meinst das dass k und das l Element der Zahlen Z sind.

Also dann habe ich jetzt ein k Element Z und ein l Element Z.

Gut dann habe ich folgende Schritte gemacht:

acx + bcy = c

Dann die k und l eingebracht

blax + akby = c

ablx + abmy = c (da es ja ein l und ein n Element aus Z nun gibt)

Und dann komme ich auf ab*(lx+ky)=c, forme ich das dann um, dann hätte ich c|ab=(lx+ky)

Stimmt das so?
  ─   anonym2c863 16.01.2022 um 17:20

Du willst $ab|c$ zeigen. ;) Die letzte Schlussfolgerung stimmt also nicht. Aber von der Idee ist das in Ordnung. Man sollte aber noch dazu schreiben, wo $k$ und $l$ nun herkommen, siehe die Antwort.   ─   cauchy 16.01.2022 um 17:26

k und l kommen davon, das a und b, c teilen oder?

Und die Schlussfolgerung, stimmt das passt nicht. Aber wie komme ich dann auf ab|c, denn ich kann ja nicht anders umformen, oder stehe ich wieder auf der Leitung?
  ─   anonym2c863 16.01.2022 um 17:32

Ja, "dann komme ich auf...." ist gut. Danach, wie cauchy sagt, kommst Du vom Weg ab, kurz vor dem Ziel. .In der vorletzten Zeile noch ein Tippfehler, da steht m anstelle k.
Und ja, natürlich meinte ich k,l ganzzahlig. Das braucht man auch noch, wo nämlich?
  ─   mikn 16.01.2022 um 17:35

Ok, Tippfehler sehe ich (scheinbar auf der Tastatur abgerutscht :-)). Ja das brauche ich noch für die Bildung einer ganzen Zahl oder, weil in meinen Unterlagen steht allgemein p ist ein Teiler von q wenn gilt p*r=q. Und unsere ganze Zahl kann ich dann so bilden oder was meintest du jetzt?   ─   anonym2c863 16.01.2022 um 17:40

Ja, das meinte ich. Hast Du nun alles zusammen? Der letzte Schritt bzw. die letzte Erkenntnis fehlte ja noch.   ─   mikn 16.01.2022 um 17:46

Nein irgendwie ehrlich gesagt steht ich da jetzt am Ende auf der Leitung. Wenn ich jetzt in da p*r=q einsetze, dann wäre ja p in dem Fall ab und das q=c. Aber wenn ich dann umforme, dann kommt raus c|ab = r, das ist aber nicht das gesuchte...   ─   anonym2c863 16.01.2022 um 17:49

Das ist alles richtig. p=ab, q=c. Und Du hast ab*(lx+ky)=c, Also?
Sonst schreib Dir nochmal auf, was ab|c bedeutet und vergleiche. Umzuformen ist hier nichts mehr.
  ─   mikn 16.01.2022 um 17:52

Ich Depp. A und B sind Teiler von c, wenn gilt, das ab*(lx+ky)=c ist. Jetzt hab ichs oder?   ─   anonym2c863 16.01.2022 um 17:57

Und Du weißt jetzt, was r ist?   ─   mikn 16.01.2022 um 18:02

Ja r ist die Summe der ganzen Zahlen l und k. Und l und k existieren, da a und b (auch ganze Zahlen) ein Teiler von c ist, stimmt das?   ─   anonym2c863 16.01.2022 um 18:04

Leider nein. Du musst doch nur mit p*r=q vergleichen. Vielleicht hast Du Dich nur falsch ausgedrückt. Es kann nicht schaden etwas sorgfältiger zu werden ;-)   ─   mikn 16.01.2022 um 18:07

Wie meinst du das jetzt genau? Das verstehe ich jetzt nicht ganz.   ─   anonym2c863 16.01.2022 um 18:10

Ein paar Kommentare steht das, was Du wissen musst: "Das ist alles richtig...." Dazu hätten wir gerne p*r=q. Wenn es so ein r gibt, sind fertig. Also: Gibt es so ein r, wenn ja wie lautet es?   ─   mikn 16.01.2022 um 22:07

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