Wie gebrochenrationale Funktionen einzeichnen?

Aufrufe: 564     Aktiv: 07.12.2020 um 16:17

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Wie zeichne ich am schnellsten und besten gebrochenrationale Funktionen ein?
Wie bspw. die hier?: 
f(x)=(x^(3)-8)/(4 x)

Bei der weiß ich, dass:
Asymptote yA = 0,25x² ist (Polynomdivision durch Zähler und Nenner)
Nullstelle bei x = 2 ist (Z(x) = 0 gesetzt)
Polstelle xP = 0, da 0 im Zähler Z(x) eingesetzt wo Z(0) = -8 ist. 

Nun wäre evtl. der nächste Schritt eine Wertetabelle für allgemein erstmal f(x)=(x^(3)-8)/(4 x) und dann noch zusätzlich 0,25x² ?
Oder wie würde ich jetzt vorgehen, wenn ich das einzeichnen möchte?
Sollte ich vielleicht noch die waagerechte Asymptote bestimmen, in dem ich mir den Grad des höchsten Exponenten anschaue?

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Das ist eigentlich schon super. Viel mehr Infos braucht man nicht. Zeichne die Asymptote y = 0,25x^2 ein. Dann markiere dir die Null- und Polstelle. Damit weißt du schon in etwa, wie deine Funktion f aussieht:

In größeren Bereichen (betragsmäßig) für x hast du eine starke Annäherung an 0,25x^2. Nahe des Ursprungs hast du schon zusätzliche Infos wie die Nullstelle und Polstelle. Deinen Graphen daran nur noch anpassen und fertig. Gerne kannst du dir da Unterstützung mit einer kleinen Wertetabelle um x = 0 rum helfen.

 

Sieht bei mir so aus:

 

Übrigens: Eine waagerechte Asymptote gibt es nur, wenn der Nennergrad höher oder gleich dem Zählergrad hat. Hier hat man keine waagerechte Asymptote, sondern eine parabelförmige.

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Ich verstehe das immer noch nicht so ganz...
Also ich muss zwingend immer die Asymptote einzeichnen? Also in dem Fall die 0,25x², das verstehe ich.

Aber wie komme ich dann auf die zwei anderen Grafen, woher weiß ich, wie die verlaufen bzw. wie der Graf aussieht?
Weil wenn ich mir die Null- und Polstellen eingezeichnet habe, weiß ich ja das ein Graf irgendwo im 1. und/oder 4. Quadrant durch die Nullstelle x = 2 durchlaufen muss.
Genau so weiß ich, dass sich ein/mehrere Grafen an der Polstelle xp = 0 annähren (also sogesehen der y-Achse)
Aber woher weiß ich, wie die Grafen aussehen bzw. durch welche Punkte die durchlaufen?

Ist so gesehen von der Funktion f(x) der Zähler, also Z(x) bzw. g(x) ein Graf und der Nenner N(x) bzw. h(x) ist auch ein Graf?
  ─   trite8q1 06.12.2020 um 10:34

Das Einzeichnen der Asymptote macht sicher Sinn. damit hast du links und rechts schon nen guten Eindruck. Markiere dir dann noch die Pol- und Nullstelle und es ergibt sich schon eine erste Idee bzgl der roten Funktion. Dass die zweigeteilt ist, sollte man erkennen, da man es mit einer Polstelle zu tun hat. In welche Richtung die Polstelle entschwindet, kann man bspw grob mit einer Punktprobe testen. Wenn man x = -0,5 bzw x = 0,5 einsetzt (also eine Art kleine Wertetabelle) ist man schon wieder einen Schritt weiter.   ─   orthando 06.12.2020 um 16:08

Wie erkenne ich das aber, dass die Funktion zweigeteilt ist?
Und wie kommst du auf diese Art Wertetabelle? Also warum setzt du x - 0,5 ein? Anstatt bspw. 4 * x?
  ─   trite8q1 07.12.2020 um 15:42

Dass sie zweigeteilt ist, erkennst du daran, dass eine Polstelle vorliegt. Du kannst die Polstelle ja nicht einfach überqueren. Deshalb zweigeteilt.
Die Art der Zweiteilung kann man erahnen, wenn man Stellen nahe der Polstelle untersucht, eben x = 0,5 bspw.
Ok? :)

Probier das doch mal einfach umzusetzen und schau, was du damit erhältst. Gibt das schon genug Ideen um die Funktion einzuzeichnen? Oder welche Bereiche sind dann noch unklar? Für die unklaren Gebiete einfach nochmals mit einer Punktprobe Sicherheit schaffen ;).
  ─   orthando 07.12.2020 um 16:17

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