Wir wollen also das größtmögliche Volumen bekommen. Die Seitenlängen für den entstehenden Quader sind \( a,b \) und \( x \). Das Volumen des Quaders ist einfach \( V = a \cdot b \cdot x\). Unser Ziel ist es jetzt, die 2 von den 3 Unbekannten mithilfe der 3ten Unbekannten darzustellen. Es scheint auf den ersten Blick ganz clever, vielleicht das x als Unbekannte zu wählen und a und b dann über x darzustellen. Schauen wir uns mal an, was passiert wenn wir x variieren. Das braucht jetzt ein wenig Vorstellungsvermögen, du kannst es dir auch Skizzenhaft aufzeichnen. Das x bildet in diesen Ecken immer quasi Quadrate, also wäre die Länge a + 2x = 500, das kann man nach a umstellen und erhält: \( a = 500-2x\).

Das ist also die erste Bedingung. Die zweite Bedingung ist ein wenig schwieriger, da habe ich auch erstmal einen Moment gebraucht. Aber man will ja das das gesamte Netz auf diese Fläche passt, was muss dann für eine Bedingung für b gelten? Naja, 2(x+b) darf nicht größer sein als 800, weil schau dir mal das Netz an. Man hat einmal diese Seitenfläche bei der Seite a, die hat eine Breite von x, dann kommt das große Rechteck, also der Boden des Quaders, der hat Breite b, dann kommt wieder eine Seite der Breite x, dann die Deckenfläche mit Breite von b. Also insgesamt x + b + x + b = 800 => 2(x+b) = 800, das ist die zweite Bedingung. Das ganze formt man um und erhält: \( b = 400-x\).

Jetzt haben wir unsere Bedingungen, die Funktion lautet also: \( f(x) = (500-2x) \cdot (400-x) \cdot x\), davon jetzt den Hochpunkt zu bestimmen überlasse ich mal dir. Bedenke dass du die Funktion nur im Bereich von 0 bis 250 betrachten brauchst, weil für x = 250 wäre deine Seite a schon 0mm lang, kürzer kann sie ja nicht werden ;). Als Ergebnis bekomme ich x = 100, was ziemlich gut passen kann, weil dann a = 300 und b = 300 wäre. Meistens (aber nicht immer) gibt es das größte Volumen/Flächeninhalt wenn die Zahlen "möglichst gleich" sind, in dem Fall sind a und b gleich, gut x nicht ganz aber ich hoffe du weisst worauf ich hinaus will :D